Alle Ringhomomorphismen finden < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ich soll alle Ringhomomorphismen zwischen
a) [mm] \mathbb [/mm] Z [i] und [mm] \mathbb [/mm] Z [mm] [\sqrt{2}]
[/mm]
b) [mm] \mathbb [/mm] Z [i] und [mm] \mathbb [/mm] Z [i]
c) [mm] \mathbb [/mm] Z/n und [mm] \mathbb [/mm] Z/m |
Also
Ich weiss, dass für ein ghomomorphismus folgendes muss gelten
i) [mm] \phi(x)+\phi(y)=\phi(x [/mm] + y)
ii) [mm] \phi(x\cdot y)=\phi(x)\cdot \phi(y)
[/mm]
iii) [mm] \phi(1)=1
[/mm]
b) ist mir klar nur Identität Abblidung is möglich, weil sonnst [mm] \phi(1) [/mm] = 1 nicht gilt
Leider habe ich keine Idee wie soll ich a) und b) zeigen.
Wie soll ich a) und c) zeigen?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=429192 Leider noch kein Antwort
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:56 Di 05.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich soll alle Ringhomomorphismen zwischen
>
> a) [mm]\mathbb[/mm] Z und [mm]\mathbb[/mm] Z [mm][\sqrt{2}][/mm]
> b) [mm]\mathbb[/mm] Z und [mm]\mathbb[/mm] Z
> c) [mm]\mathbb[/mm] Z/n und [mm]\mathbb[/mm] Z/m
>
> Also
> Ich weiss, dass für ein ghomomorphismus folgendes muss
> gelten
> i) [mm]\phi(x)+\phi(y)=\phi(x[/mm] + y)
> ii) [mm]\phi(x\cdot y)=\phi(x)\cdot \phi(y)[/mm]
> iii) [mm]\phi(1)=1[/mm]
>
Beachte, dass es in [mm]\IZ[i][/mm]$ ein Element gibt, dessen Quadrat -1 ist. Was bedeutet das fuer [mm] $\IZ[\sqrt{2}]$, [/mm] wenn es einen Ringhomomorphismus [mm]\IZ[i] \to \IZ[\sqrt{2}][/mm] gibt?
> b) ist mir klar nur Identität Abblidung is möglich, weil
> sonnst [mm]\phi(1)[/mm] = 1 nicht gilt
Das ist falsch.
Es gibt da eine ganz tolle Abbildung, die etwas mit komplexen Zahlen zu tun hat, deren Restriktion einen Ringautomorphismus liefert, der nicht die Identitaet ist.
> Wie soll ich a) und c) zeigen?
Bei c) schau dir die Verkettung [mm] $\IZ \to \IZ/n \to \IZ/m$ [/mm] an. Wieviele solche Ringhomomorphismen gibt es? Wie sieht der Kern aus? Ist umgekehrt [mm] $\IZ \to \IZ/m$ [/mm] ein Ringhomomorphismus, was muss gelten, damit dieser einen Homomorphismus [mm] $\IZ/n \to \IZ/m$ [/mm] induziert? (Gesucht sind Bedingungen an $n$ und $m$.)
LG Felix
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a) es handelt sich um i [mm] \IZ[i] [/mm] = {a + bi| a,b [mm] \in \IZ} [/mm] aber ich weisst nicht welche Einflüss das auf [mm] \IZ[\sqrt{2}] [/mm] hat?
b) Ein Tip wie sieht diese Abbildung aus?
c) Mein Verdacht ist, dass m ein Teiler von n sein muss. Es gibt unendlich viele solche Homomorphiesmen?
[mm] \phi [/mm] : [mm] \IZ/n \to \IZ/m [/mm] Kern [mm] \phi [/mm] = {x [mm] \in \IZ/n [/mm] | [mm] \phi(x) [/mm] = [mm] 0_{m} [/mm] }
Insbesondere muss also gelten:
[mm] [0]_{m} [/mm] = [mm] \phi([0]_{n}) [/mm] = [mm] \phi([n]_{n}) [/mm] = [mm] n\* [1]_{m} [/mm] daraus folgt das m ein Teiler von n ist
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:58 Do 07.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moi!
> a) es handelt sich um i [mm]\IZ[i][/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a + bi| a,b [mm]\in \IZ}[/mm] aber [/i][/mm]
> [mm][i]ich weisst nicht welche Einflüss das auf [mm]\IZ[\sqrt{2}][/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]hat? [/i][/mm]
Wenn es einen Ringhomomorphismus [mm]\IZ[i] \to \IZ[\sqrt{2}][/mm]$ gibt, was muss dann das Bild von $i$ in [mm] $\IZ[sqrt{2}]$ [/mm] erfuellen? Gibt es ein Element in [mm] $\IZ[\sqrt{2}]$ [/mm] mit dieser Eigenschaft?
> [mm][i]b) Ein Tip wie sieht diese Abbildung aus?[/i][/mm]
Du suchst eine Abbildung $f : [mm] \IC \to \IC$ [/mm] mit
a) $f(x) + f(y) = f(x + y)$;
b) $f(x y) = f(x) f(y)$;
c) $f(r) = r$ fuer alle $r [mm] \in \IR$.
[/mm]
Kennst du eine solche?
> [mm][i]c) Mein Verdacht ist, dass m ein Teiler von n sein muss.
Damit es ueberhaupt einen Homomorphismus gibt? Ja.
> Es [/i][/mm]
> [mm][i]gibt unendlich viele solche Homomorphiesmen?[/i][/mm]
Zwischen zwei endlichen Mengen gibt es nur endlich viele Funktionen. Da jeder Homomorphismus eine Funktion ist, kann es also nur endlich viele geben.
> [mm][i][mm]\phi[/mm] : [mm]\IZ/n \to \IZ/m[/mm] Kern [mm]\phi[/mm] = {x [mm]\in \IZ/n[/mm] | [mm]\phi(x)[/mm] = [/i][/mm]
> [mm][i][mm]0_{m}[/mm] }[/i][/mm]
> [mm][i] [/i][/mm]
> [mm][i]Insbesondere muss also gelten:[/i][/mm]
> [mm][i] [mm][0]_{m}[/mm] = [mm]\phi([0]_{n})[/mm] = [mm]\phi([n]_{n})[/mm] = [mm]n\* [1]_{m}[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]daraus folgt das m ein Teiler von n ist [/i][/mm]
Ja, das ist korrekt.
Jetzt ueberleg dir aber mal, warum [mm] $\phi([n]_n) [/mm] = n [mm] \cdot [1]_m$ [/mm] ist. Und was das ueber den Homomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] aussagt, wenn man es etwas allgemeiner hinschreibt (insb: wieviele solche Homomorphismen es ueberhaupt geben kann).
LG Felix
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