Alle Teiler finden < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Hallo,
in einem Ring der Gestalt [mm] \IZ[\wurzel{-n}], [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] möchte man alle Teiler einer Zahl z [mm] \in \IC [/mm] finden. Gibt es da ein konkretes Vorgehen, solche Aufgaben zu lösen?
Wenn man zum Beispiel in [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] = [mm] \{a+i\wurzel{5}b : a,b \in \IZ\} [/mm] alle Teiler von 21 finden möchte, dann gibt es erstmal die ganzzahligen Teiler und mit 21 = [mm] z\overline{z} [/mm] = [mm] a^2+5b^2 [/mm] findet man die Teiler, die mit ihren Konjungierten 21 ergeben. Die sind recht einfach zu finden, da der Imaginärteil wegfällt.
Kann es noch mehr Teiler von 21 geben? Wenn ja, wie finde ich die?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 Mo 04.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> in einem Ring der Gestalt [mm]\IZ[\wurzel{-n}],[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> möchte man alle Teiler einer Zahl z [mm]\in \IC[/mm] finden. Gibt
> es da ein konkretes Vorgehen, solche Aufgaben zu lösen?
Nun, das haengt etwas davon ab ob [mm] $\IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] faktoriell ist oder nicht.
Erstmal wuerde ich zumindest alle Einheiten bestimmen; dann reicht es aus, jeweils nicht-assoziierte Teiler von $z$ zu finden.
> Wenn man zum Beispiel in [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] =
> [mm]\{a+i\wurzel{5}b : a,b \in \IZ\}[/mm] alle Teiler von 21 finden
> möchte, dann gibt es erstmal die ganzzahligen Teiler und
> mit 21 = [mm]z\overline{z}[/mm] = [mm]a^2+5b^2[/mm] findet man die Teiler,
> die mit ihren Konjungierten 21 ergeben. Die sind recht
> einfach zu finden, da der Imaginärteil wegfällt.
Wenn du alle Teiler von $z = 21$ bestimmen willst, kannst du erstmal $z [mm] \overline{z}$ [/mm] ausrechnen und alle ganzzahligen Teiler davon bestimmen. Ist $d$ so ein ganzzahliger Teiler, dann suche nach $w [mm] \in \IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] mit $w [mm] \overline{w} [/mm] = d$. (Bzw. such solche $w$ bis auf Einheiten.) Fuer jedes solche $w$ testest du, ob es ein Teiler von $z$ ist (einfach [mm] $\frac{z}{w}$ [/mm] berechnen und schauen ob das Ergebnis in [mm] $\IZ[\sqrt{-n}]$ [/mm] liegt). Damit kannst du alle Teiler von 21 finden (bis auf Einheiten).
Um zu einen Teiler $d$ von $z [mm] \overline{z}$ [/mm] Elemente $w$ mit $w [mm] \overline{w} [/mm] = d$ zu finden, schreibt man $d = [mm] a^2 [/mm] + 5 [mm] b^2$ [/mm] und schaut, ob es passende $a$ und $b$ gibt. Dies geht normalerweise recht fix, da $|b| [mm] \le \sqrt{d/5}$ [/mm] sein muss und fuer ein festes $b$ hoechstens eine Loesung $|a|$ existiert.
Insgesamt ist es ziemlich muehsam, alle Teiler zu finden. Man kann das besser einem Computer ueberlassen 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:27 Mo 04.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
ein Computer ist hier noch nicht nötig.
$ 3, 7, [mm] (4\pm i\wurzel{5}), (1\pm 2i\wurzel{5}) [/mm] $ sind alle Teiler von 21, bis auf die Multiplikation mit -1 natürlich.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 04.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix,
schon klar, es wird schnell unübersichtlich.
Aber auch der Computer muss gefüttert und vor allem von jemandem programmiert werden.  Da macht es schon Sinn, sich an handhabbaren Beispielen erst einmal einen Überblick über die Methode(n) zu verschaffen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Danke für die schnelle Antwort.
Aber das ist wirklich ein ziemlicher Rechenaufwand, fast endlos....
Kennst du vielleicht im Internet ein Programm, was alle Teiler ausspuckt. Ich habe leider keines gefunden!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 04.07.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Aber das ist wirklich ein ziemlicher Rechenaufwand, fast
> endlos....
Bei $z = 21$? Nein, nicht wirklich.
Bei Werten von $z$ mit vielen Primfaktoren und gleichzeitig kleinem $n$ dagegen schon (Ausnahme: $n$ ist einer von ein paar wenigen bestimmten Werten).
> Kennst du vielleicht im Internet ein Programm, was alle
> Teiler ausspuckt. Ich habe leider keines gefunden!?
Nein, da kenne ich keins. Es ist aber wie gesagt nicht sehr schwer, selber eins zu programmieren.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:31 Mo 04.07.2011 | | Autor: | Sindacco |
Ja, aber für andere Werte als 21. Naja vielleicht programmier ich mal eins selber, wenn ich keins find.
Trotzdem Danke!
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Hallo Sindacco,
ich habs nicht ausprobiert, aber ![[]](/images/popup.gif) dieses Programm hat zumindest unique factorization domains mit im Programmpaket.
Auch Wolfram Mathematica sollte das können; online habe ich dieses Feature aber nicht gefunden.
Grüße
reverend
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