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Alle Untergruppen?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 So 04.05.2008
Autor: frederike17

Aufgabe
Berechnen sie alle Untergruppen von D4.

Ich weiß, dass die Untergruppen die Ordnung 1,2,4,8 haben müssen. Und ich habe denke ich auch alle gefunden (10 Untergruppen). Aber wie kann ich nachprüfen, ob ich keine vergessen habe? Gibt es da einen Satz zur Anzahl der Untergruppen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Alle Untergruppen?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:06 Mo 05.05.2008
Autor: statler

Hi!

> Berechnen sie alle Untergruppen von D4.
>  Ich weiß, dass die Untergruppen die Ordnung 1,2,4,8 haben
> müssen. Und ich habe denke ich auch alle gefunden (10
> Untergruppen). Aber wie kann ich nachprüfen, ob ich keine
> vergessen habe? Gibt es da einen Satz zur Anzahl der
> Untergruppen?

Für eine beliebige Gruppe gibt es so einen Satz nicht. Da ist einfach 'intelligentes Raten' gefragt. Hier ist jedenfalls klar, daß es 1 UG der Ordnung 8 und eine der Ordnung 1 gibt. Aus den 5 Elementen der Ordnung 2 kann man 5 UGn der Ordnung 2 bilden. Bleiben noch die Vierer. Da gibt es nur die zyklische und die Kleinsche. Die beiden Elemente der Ordnung 4 sind in einer zykl. UG versammelt. Jetzt muß man noch den letzten Fall durchprobieren: Man nehme 2 Elem. der Ordnung 2 und schaue, ob ihr Produkt auch die Ordnung 2 hat. Auf diese Weise findet man noch 2 Kleinsche Vierergruppen (Z2 x Z2). Also insgesamt 10 UGn.

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
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