matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-Komplexe ZahlenAlle komplexen Zahlen, die ...
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Alle komplexen Zahlen, die ...
Alle komplexen Zahlen, die ... < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Alle komplexen Zahlen, die ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 13.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
Sei [mm] z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm] \overline{z} [/mm] ihre Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] lösen.



<br>

Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm] \overline{z}=a-b*i [/mm] ist und [mm] z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i [/mm] ist.

Dann komme ich zur Gleichung  [mm] (a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0. [/mm]
Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
[mm] (a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0 [/mm]

Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]
>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter

Eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleich Null sind.

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz ist zielführend und völlig ok, als Alternative hier aber mal ein anderer Ansatz:

Wir haben $ [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] $  und offensichtlich ist $z=0$ eine Lösung.
Seit also im Weiteren [mm] $z\not=0$. [/mm] Durchmultiplizieren mit $z$ liefert:

$ [mm] z^3-5\overline{z}z=0 [/mm] $

Nun ist [mm] $\overline{z}z [/mm] = [mm] |z|^2$. [/mm] Dividieren durch [mm] $|z|^2$ [/mm] und umstellen liefert dann.

[mm] $\left(\frac{z}{|z|}\right)^2 \cdot [/mm] z = 5$

Verwendet man nun die Polarform von $z$, so gilt $z = [mm] re^{i\varphi}$ [/mm] und [mm] $\frac{z}{|z|} [/mm] = [mm] e^{i\varphi}$ [/mm]

Damit ergibt sich:

[mm] $re^{3i\varphi} [/mm] = 5$

d.h.

$r = 5, [mm] 3\varphi [/mm] = [mm] 2k\pi$ [/mm]

D.h. als Lösungen ergeben sich (neben z=0 und für [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$): [/mm]
$r=5, [mm] \left(\varphi = 0 \vee \varphi = \frac{2}{3}\pi \vee \varphi = \frac{4}{3}\pi\right)$ [/mm]

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Mo 15.02.2021
Autor: fred97

Noch eine Möglichkeit:

Klar ist , dass $z=0$ die Gleichung löst. Sei als $z [mm] \ne [/mm] 0.$

Wie bei Gono multiplizieren wir die Gl mit $z$ und erhalten

(*)      [mm] $z^3=5|z|^2,$ [/mm]

also

   [mm] $|z|^3=5|z|^2,$ [/mm]

dies liefert schon mal $|z|=5.$

Aus (*) erhalten wir

[mm] $z^3=125$. [/mm]

Man sieht, dass $z=5$ eine Lösung ist und dass

[mm] $(z^3-125):(z-5)=z^2+5z+25$ [/mm]

gilt

Die quadratische Gleichung [mm] $z^2+5z+25=0$ [/mm] hat die Lösungen

       [mm] $\frac{5}{2}(-1 \pm [/mm] i [mm] \sqrt{3}).$ [/mm]



Bezug
                
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mo 15.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sehr hübsch!

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 15.02.2021
Autor: fred97


> <br>
>  Sei [mm]z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm]\overline{z}[/mm] ihre
> Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung
> [mm]z^2-5\overline{z}=0[/mm] lösen.
>  
>
> <br>
>  
> Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm]\overline{z}=a-b*i[/mm]
> ist und [mm]z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i[/mm] ist.
>  
> Dann komme ich zur Gleichung  [mm](a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0.[/mm]
>  Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]


Hier hast Du einen Fehler: es lautet richtig:


                   [mm](a^2-5a-b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm].

Wie Gono in seiner ersten Antwort geschrieben hat, bedeutet dies:

[mm] $a^2-5a-b^2=0$ [/mm]

und

$2ab+5b=0.$

Wenn Du dieses Gleichungssystem löst, solltest Du auf die Ergebnisse meine ersten Antwort kommen.

>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis
> dankbar.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]