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Forum "Uni-Analysis-Komplexe Zahlen" - Alle komplexen Zahlen, die ...
Alle komplexen Zahlen, die ... < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Alle komplexen Zahlen, die ...: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:37 Sa 13.02.2021
Autor: MasterEd

Aufgabe
<br>
Sei [mm] z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm] \overline{z} [/mm] ihre Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] lösen.



<br>

Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm] \overline{z}=a-b*i [/mm] ist und [mm] z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i [/mm] ist.

Dann komme ich zur Gleichung  [mm] (a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0. [/mm]
Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
[mm] (a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0 [/mm]

Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis dankbar.

        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:21 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]
>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter

Eine komplexe Zahl ist genau dann Null, wenn Real- und Imaginärteil gleich Null sind.

Gruß,
Gono


Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Sa 13.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Ansatz ist zielführend und völlig ok, als Alternative hier aber mal ein anderer Ansatz:

Wir haben $ [mm] z^2-5\overline{z}=0 [/mm] $  und offensichtlich ist $z=0$ eine Lösung.
Seit also im Weiteren [mm] $z\not=0$. [/mm] Durchmultiplizieren mit $z$ liefert:

$ [mm] z^3-5\overline{z}z=0 [/mm] $

Nun ist [mm] $\overline{z}z [/mm] = [mm] |z|^2$. [/mm] Dividieren durch [mm] $|z|^2$ [/mm] und umstellen liefert dann.

[mm] $\left(\frac{z}{|z|}\right)^2 \cdot [/mm] z = 5$

Verwendet man nun die Polarform von $z$, so gilt $z = [mm] re^{i\varphi}$ [/mm] und [mm] $\frac{z}{|z|} [/mm] = [mm] e^{i\varphi}$ [/mm]

Damit ergibt sich:

[mm] $re^{3i\varphi} [/mm] = 5$

d.h.

$r = 5, [mm] 3\varphi [/mm] = [mm] 2k\pi$ [/mm]

D.h. als Lösungen ergeben sich (neben z=0 und für [mm] $\varphi \in [0,2\pi)$): [/mm]
$r=5, [mm] \left(\varphi = 0 \vee \varphi = \frac{2}{3}\pi \vee \varphi = \frac{4}{3}\pi\right)$ [/mm]

Gruß,
Gono

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Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:20 Mo 15.02.2021
Autor: fred97

Noch eine Möglichkeit:

Klar ist , dass $z=0$ die Gleichung löst. Sei als $z [mm] \ne [/mm] 0.$

Wie bei Gono multiplizieren wir die Gl mit $z$ und erhalten

(*)      [mm] $z^3=5|z|^2,$ [/mm]

also

   [mm] $|z|^3=5|z|^2,$ [/mm]

dies liefert schon mal $|z|=5.$

Aus (*) erhalten wir

[mm] $z^3=125$. [/mm]

Man sieht, dass $z=5$ eine Lösung ist und dass

[mm] $(z^3-125):(z-5)=z^2+5z+25$ [/mm]

gilt

Die quadratische Gleichung [mm] $z^2+5z+25=0$ [/mm] hat die Lösungen

       [mm] $\frac{5}{2}(-1 \pm [/mm] i [mm] \sqrt{3}).$ [/mm]



Bezug
                
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:38 Mo 15.02.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

sehr hübsch!

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Alle komplexen Zahlen, die ...: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 15.02.2021
Autor: fred97


> <br>
>  Sei [mm]z=a+b*i [/mm] eine komplexe Zahl und [mm]\overline{z}[/mm] ihre
> Konjugierte. Bestimmen Sie alle Zahlen z, die die Gleichung
> [mm]z^2-5\overline{z}=0[/mm] lösen.
>  
>
> <br>
>  
> Also ich habe mir schon überlegt, dass [mm]\overline{z}=a-b*i[/mm]
> ist und [mm]z^2=(a^2-b^2)+(2ab)*i[/mm] ist.
>  
> Dann komme ich zur Gleichung  [mm](a^2-b^2)+(2ab)*i-5a+5b*i=0.[/mm]
>  Diese habe ich wieder im komplexen "Format" geschrieben:
>  [mm](a^2-5a+b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm]


Hier hast Du einen Fehler: es lautet richtig:


                   [mm](a^2-5a-b^2)+(2ab+5b)*i=0[/mm].

Wie Gono in seiner ersten Antwort geschrieben hat, bedeutet dies:

[mm] $a^2-5a-b^2=0$ [/mm]

und

$2ab+5b=0.$

Wenn Du dieses Gleichungssystem löst, solltest Du auf die Ergebnisse meine ersten Antwort kommen.

>  
> Ab da komme ich nicht mehr weiter. Bin für jeden Hinweis
> dankbar.


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