Alle paare Bestimmen? < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | | Bestimmen sie alle Paare (x,y) der Ungleichung $xy [mm] \leq x^2+y^2$. [/mm] |
Hi Leute!
Oben steht die Aufgabe. Wie gehe ich an sowas ran? Das ist doch jetzt in dem Sinne keine übliche Ungleichung, oder? Wie sehen hier jetzt die Fälle aus? Ich verstehe auch irgendwie gar nicht was hier mit Paare gemeint ist...
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Hallo bandchef,
> Bestimmen sie alle Paare (x,y) der Ungleichung [mm]xy \leq x^2+y^2[/mm].
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> Hi Leute!
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> Oben steht die Aufgabe. Wie gehe ich an sowas ran? Das ist
> doch jetzt in dem Sinne keine übliche Ungleichung, oder?
> Wie sehen hier jetzt die Fälle aus? Ich verstehe auch
> irgendwie gar nicht was hier mit Paare gemeint ist...
Bringe zunächst die gegebene Ungleichung auf die Form
[mm] ... \ \ge 0 [/mm]
Dann wendest Du auf der Seite, auf der linken Seite
der Ungleichung quadratische Ergänzung an.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Wenn ich nun das gemacht habe sieht das bei mir jetzt so aus:
[mm] $x^2+y^2 \geq [/mm] xy [mm] \Leftrightarrow x^2+y^2-xy \geq [/mm] 0$
Hier muss ich nun auf der rechten Seite die quadratische Ergänzung anwenden? Wie macht man eine quadratische Ergänzung?
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Hallo,
> Wenn ich nun das gemacht habe sieht das bei mir jetzt so
> aus:
>
> [mm]x^2+y^2 \geq xy \Leftrightarrow x^2+y^2-xy \geq 0[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Hier muss ich nun auf der rechten Seite die quadratische
> Ergänzung anwenden?
Besser auf der linken Seite der Ungleichung, also bei [mm]x^2+y^2-xy[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Hallo,
auf deine editierte Frage:
[mm]x^2+y^2-xy=x^2+y^2-xy-xy+xy=x^2-2xy+y^2+xy ...[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Gut, natürlich auf der linken Seite.
Normalerweise zieht man ja den Leitkoeffzienten raus. Der is hier aber 1, weshalb ich ihn ja nicht ausklammern brauch. Wie gehe ich dann weiter vor? Wenn ich mir dazu den Wikipedia-Artikel anschaue werd ich da nicht so wirklich schlau daraus...
Anscheinend muss ich zu den [mm] $x^2+y^2 [/mm] was dazu addieren was in sich wieder Null ergeben würde... Aber was ich hier dazu addieren muss, weiß ich nicht...
Hab leider gerade erst die Mitteilung gelesen. Ich hab weiter gemacht:
$ [mm] x^2+y^2-xy=x^2+y^2-xy-xy+xy=x^2-2xy+y^2+xy=x^2+y(-2x+y+x) =x^2+y(y-x)=x^2+y^2(1-\frac{x}{y})$
[/mm]
Soweit richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:50 Sa 19.03.2011 | | Autor: | abakus |
> Gut, natürlich auf der linken Seite.
>
> Normalerweise zieht man ja den Leitkoeffzienten raus. Der
> is hier aber 1, weshalb ich ihn ja nicht ausklammern
> brauch. Wie gehe ich dann weiter vor? Wenn ich mir dazu den
> Wikipedia-Artikel anschaue werd ich da nicht so wirklich
> schlau daraus...
>
> Anscheinend muss ich zu den [mm]$x^2+y^2[/mm] was dazu addieren was
> in sich wieder Null ergeben würde... Aber was ich hier
> dazu addieren muss, weiß ich nicht...
>
> Hab leider gerade erst die Mitteilung gelesen. Ich hab
> weiter gemacht:
>
> [mm]x^2+y^2-xy=x^2+y^2-xy-xy+xy=x^2-2xy+y^2+xy=x^2+y(-2x+y+x) =x^2+y(y-x)=x^2+y^2(1-\frac{x}{y})[/mm]
>
> Soweit richtig?
Hallo,
du hast den Wink mit dem Zaunpfahl nicht richtig deuten können.
Welcher einfache Term steckt hinter [mm] x^2-2xy+y^2 [/mm] ?
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Hm, das hab ich im Eifer des Gefechts wirklich nicht erkannt. Jetzt das bei mir so aus:
[mm] $(x-y)^2+xy \geq [/mm] 0$
Wie komm ich von da nun auf die Paare?
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Hallo bandchef,
> Hm, das hab ich im Eifer des Gefechts wirklich nicht
> erkannt. Jetzt das bei mir so aus:
>
> [mm](x-y)^2+xy \geq 0[/mm]
>
> Wie komm ich von da nun auf die Paare?
Das musst Du anders umformen.
Mit dem Ausdruck [mm]x^{2}-xy+y^{2}[/mm] ist einequadratische Ergänzung durchzuführen.
Der Ausdruck [mm]x^{2}-xy[/mm] ist dabei zu einem vollständigen Quadrat
zu erweitern.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Also nochmal nicht, dass ich das jetzt falsch verstanden habe:
Ich hab das hier stehen:
$ [mm] \underbrace{x^2-xy}_{\text{Das hier soll ich nun zu einem vollständigen Quadrat ergänzen?}}+y^2-xy+xy [/mm] $
Sorry, aber ich weiß nicht recht wie ich das zu einem vollständigen Quadrat ergänze... Probiert hab ich das ganze mal so:
[mm] $x^2-xy+\left(\frac{y}{2}\right)^2+y^2-xy+xy \geq [/mm] 0$
Stimmt das soweit?
Könnt ihr mir helfen?
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Hallo bandchef,
> Also nochmal nicht, dass ich das jetzt falsch verstanden
> habe:
>
> Ich hab das hier stehen:
>
> [mm]\underbrace{x^2-xy}_{\text{Das hier soll ich nun zu einem vollständigen Quadrat ergänzen?}}+y^2-xy+xy[/mm]
>
> Sorry, aber ich weiß nicht recht wie ich das zu einem
> vollständigen Quadrat ergänze... Probiert hab ich das
> ganze mal so:
>
> [mm]x^2-xy+\left(\frac{y}{2}\right)^2+y^2-xy+xy \geq 0[/mm]
>
Da Du nun [mm]\left(\frac{y}{2}\right)^2[/mm] zur Gleichung hinzuaddiert hast,
um ein vollständiges Quadrat zu erhalten mußt
Du das auch wieder abziehen.
Dann sieht die Ungleichung wie folgt aus:
[mm]\left\blue{(} \ x^2-xy+\left(\frac{y}{2}\right)^2 \right\blue{)} +y^2-\left(\frac{y}{2}\right)^2 \geq 0[/mm]
Der Ausdruck in den blauen Klammern ist als
vollständiges Quadrat zu schreiben, während der Ausdruck.
der hinter diesen Klammern steht, noch zusammenzufassen
ist.
> Stimmt das soweit?
>
>
> Könnt ihr mir helfen?
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:21 Sa 19.03.2011 | | Autor: | bandchef |
D.h. also, dass das $-xy+xy$, was bei meiner Gleichung drin war vollkommen überflüssig ist oder wie?
Wenn ich nun auch die Gleichung auf meinem Zettel stehen hab wie du hier drin, wie muss ich dann weitermachen? Ich sowas echt noch nie gemacht :-(
Ich komm jetzt auf:
[mm] $(x^2-xy+(\frac{y}{2})^2)+\frac{3}{4}y^2 \geq [/mm] 0$
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Hallo bandchef,
> D.h. also, dass das [mm]-xy+xy[/mm], was bei meiner Gleichung drin
> war vollkommen überflüssig ist oder wie?
>
> Wenn ich nun auch die Gleichung auf meinem Zettel stehen
> hab wie du hier drin, wie muss ich dann weitermachen? Ich
> sowas echt noch nie gemacht :-(
>
> Ich komm jetzt auf:
>
> [mm](x^2-xy+(\frac{y}{2})^2)+\frac{3}{4}y^2 \geq 0[/mm]
>
Das ist richtig, kannst Du aber noch weiter zusammenfassen:
[mm](x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^2 \geq 0[/mm]
Bestimme daraus nun alle Paare [mm]\left(x,y\right)[/mm]
für die die Ungleichung erfüllt ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:36 So 20.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Bestimme daraus nun alle Paare $ [mm] \left(x,y\right) [/mm] $
für die die Ungleichung erfüllt ist."
Ja, du hast recht, da könnte man wirklich noch ein bisschen was zusammenfassen. Hab das jetzt mal gemacht. Ich stehe jetzt allerdings noch vor dem Problem, dass ich noch immer nicht recht weiß, was mit dem gemeint ist, dass man alle Paare (x,y) bestimmen soll.
Die zentrale Frage: "Wie macht man das?"
Hab ich hier nun wieder 4 verschiedene Fälle wie bei einer normalen Ungleichung bei der man die Lösungsmenge bestimmen soll, oder doch noch etwas anderes?
Hilfst du mir nochmal?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Du sollst alle (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] bestimmen mit:
$ [mm] (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^2 \geq [/mm] 0 $
Links steht eine Summe von nichtnegativen Summanden !!!. Kann dann die Summe <0 sein ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:46 So 20.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Da wirklich links nichtnegative Summanden stehen, kann in der Tat nix <0 rauskommen. Wie aber schreib ich das jetzt hin?
Setze ich zum Prüfen jetzt beim ersten Schritt mal x<0 und y<0 ein und beim zweiten Schritt x>0 und y>0 ein? Kann ich dann auf das Ergebnis schließen?
Wenn ich das jetzt mal mit x=-2 und y=-2 durchrechne komm ich auf [mm] $4\geq0$. [/mm] Was ja passen würde.
Wenn ich das dann zusätzlich noch mit x=2 und y=2 durchrechne komm ich auf auch [mm] $4\geq0$. [/mm] Was ja passen würde.
Heißt das nun, dass alle Pärchen $(x,y) [mm] \in \mathbb [/mm] R$ sein dürfen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Da wirklich links nichtnegative Summanden stehen, kann in
> der Tat nix <0 rauskommen. Wie aber schreib ich das jetzt
> hin?
[mm] $\{(x,y) \in \IR^2: (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 \}= \IR^2
[/mm]
$
>
> Setze ich zum Prüfen jetzt beim ersten Schritt mal x<0 und
> y<0 ein und beim zweiten Schritt x>0 und y>0 ein? Kann ich
> dann auf das Ergebnis schließen?
>
Was soll das ?
> Wenn ich das jetzt mal mit x=-2 und y=-2 durchrechne komm
> ich auf [mm]4\geq0[/mm]. Was ja passen würde.
>
> Wenn ich das dann zusätzlich noch mit x=2 und y=2
> durchrechne komm ich auf auch [mm]4\geq0[/mm]. Was ja passen
> würde.
>
> Heißt das nun, dass alle Pärchen [mm](x,y) \in \mathbb R[/mm] sein
> dürfen?
>
S.o.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 So 20.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Sorry, aber mit "Was soll das" ist mir nicht wirklich geholfen...
Gehe ich richtig in der Annahme, dass [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 \}= \IR^2$ [/mm] nun die Lösung zu meiner Aufgabenstellung ist? Wenn ja ist das ja eigentlich ganz einfach gewesen. Wenn nicht, dann musst du mir (leider) nochmal drauf helfen...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:01 So 20.03.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo bandchef!
> Sorry, aber mit "Was soll das" ist mir nicht wirklich geholfen...
Naja, es ist halt unklar, was Du da und warum und wie gemacht hast.
> Gehe ich richtig in der Annahme, dass [mm]\{(x,y) \in \IR^2: (x-\frac{y}{2})^{2}+\frac{3}{4}y^2 \geq 0 \}= \IR^2[/mm]
> nun die Lösung zu meiner Aufgabenstellung ist?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 So 20.03.2011 | | Autor: | bandchef |
Darf man die Lösung auch als Lösungsmenge mit einem [mm] $\mathbb [/mm] L=$ schreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> Darf man die Lösung auch als Lösungsmenge mit einem
> [mm]\mathbb L=[/mm] schreiben?
Warum nicht ?
FRED
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Hallo,
> Bestimmen sie alle Paare (x,y) der Ungleichung [mm]xy \leq x^2+y^2[/mm].
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> Hi Leute!
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> Oben steht die Aufgabe. Wie gehe ich an sowas ran? Das ist
> doch jetzt in dem Sinne keine übliche Ungleichung, oder?
Naja, wenn ihr zufällig die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel hattet, gilt für alle x,y [mm] \ge [/mm] 0 :
[mm] \wurzel{xy} \le \bruch{x+y}{2}
[/mm]
also xy [mm] \le \bruch{x^2 + y^2 +2xy}{4}
[/mm]
also xy [mm] \le \bruch{x^2 + y^2}{2} [/mm] , letzteres ist wiederum [mm] \le x^2 [/mm] + [mm] y^2, [/mm] mit etwas Logik kannst du nun auch darauf schließen, was passiert, wenn x und y kleiner 0 ist, bzw. x kleiner und y größer gleich 0 bzw. umgekehrt...
Viele Grüße
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> Bestimmen sie alle Paare (x,y) der Ungleichung [mm]xy \leq x^2+y^2[/mm].
>
> Hi Leute!
>
> Oben steht die Aufgabe. Wie gehe ich an sowas ran? Das ist
> doch jetzt in dem Sinne keine übliche Ungleichung, oder?
> Wie sehen hier jetzt die Fälle aus? Ich verstehe auch
> irgendwie gar nicht was hier mit Paare gemeint ist...
Betrachte das Zahlenpaar (x,y) als Koordinatenpaar eines
Punktes in der x-y-Ebene und gehe zu Polarkoordinaten über !
LG Al-Chw.
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untersuche die Funktion [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] mit $\ f(x,y)\ =\ [mm] x^2+y^2-x*y$ [/mm] !
LG
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> Bestimmen sie alle Paare (x,y) der Ungleichung [mm]xy \leq x^2+y^2[/mm].
Wenn wir $\ p:=x*y$ setzen, so gilt (binom. Formeln):
1.) $\ [mm] x^2+y^2+2*p\ \ge\ [/mm] 0$
2.) $\ [mm] x^2+y^2-2*p\ \ge\ [/mm] 0$
Daraus kann man schließen, dass auch
3.) $\ [mm] x^2+y^2+t*p\ \ge\ [/mm] 0$ für alle [mm] t\in\IR [/mm] mit [mm] -2\le{t}\le+2
[/mm]
also insbesondere auch
4.) $\ [mm] x^2+y^2-1*p\ [/mm] =\ [mm] x^2+y^2-x*y\ \ge0$
[/mm]
d.h.
5.) $\ x*y\ [mm] \leq\ x^2+y^2$ [/mm] für alle [mm] (x,y)\in\IR^2 [/mm]
LG
Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:50 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Da stand Unsinn.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 So 20.03.2011 | | Autor: | fred97 |
$xy [mm] \le [/mm] |xy| [mm] \le [/mm] 2|xy| [mm] \le x^2+y^2$
[/mm]
FRED
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