Allgemein: Bijektion beweisen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 13.11.2010 | | Autor: | pancakes |
| Aufgabe | Beweisen Sie, das die folgenden Menge M1 und M2 jeweils gleichmächtig sind, indem Sie eine bijektive Abbildung f: M1 -> M2 angeben.
a) M1 = [mm] \IN, [/mm] M2= {n : n [mm] \in \IN, [/mm] n ist gerade}
b) M1 = [mm] \IN, [/mm] M2= {n: n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2781} |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey!
Ich habe diese Aufgabe in der Uni bekommen und brauche insgesamt Hilfe, was das zeigen von Injektivität bzw Surjektivität von Abbildungen angeht.
Ich weiß, dass eine Abb injektiv ist, wenn für alle x1,x2 aus M mit x1 ungleich x2 gilt: f(x1) ungleich f(x2),
und das sie surjektiv ist, wenn es für alle y aus N ein x aus M gibt mit y = f(x).
Außerdem weiß ich, dass sie bijektiv ist, wenn beides gilt.
Das Problem, was ich habe ist, es zuzeigen. Ich weiß einfach nicht, wie ich daran gehen soll.
Ich weiß schon nicht, wie ich anfangen soll.
Wäre schön, wenn jemand mir einen Tipp geben könnte?! Würde die Aufgabe nämlich gerne endlich lösen können!
Lieben Gruß,
pancakes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal a) vor:
f(n) = 2n
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Sa 13.11.2010 | | Autor: | pancakes |
Okay.. also 2n bekomme ich, da es die gerade Zahlen sind, richtig?
Damit verstehe ich logisch, das wenn n1 ungleich n2 ist, dass dann natürich auch 2*n1 ungleich 2*n2 ist.. kann ich das einfach so aufschreiben:
f(n) = 2n
n1 ungleich n2
=> 2(n1) ungleich 2(n2)
und damit habe ich dann injektivität bewiesen?!
Und surjektivität hätte ich demnach jetzt so gemacht:
also ich will zeigen, dass es für alle x aus M1 ein n aus M2 gibt, mit M2 = f(M1)
Bew: f(M1) = 2*M1 = M2.
Wäre das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:41 Sa 13.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Okay.. also 2n bekomme ich, da es die gerade Zahlen sind,
> richtig?
> Damit verstehe ich logisch, das wenn n1 ungleich n2 ist,
> dass dann natürich auch 2*n1 ungleich 2*n2 ist.. kann ich
> das einfach so aufschreiben:
>
> f(n) = 2n
> n1 ungleich n2
> => 2(n1) ungleich 2(n2)
> und damit habe ich dann injektivität bewiesen?!
Ja
>
> Und surjektivität hätte ich demnach jetzt so gemacht:
> also ich will zeigen, dass es für alle x aus M1 ein n aus
> M2 gibt, mit M2 = f(M1)
> Bew: f(M1) = 2*M1 = M2.
> Wäre das so richtig?
Nein, das ist Unfug !!
Du mußt zeigen: ist y [mm] \in M_2, [/mm] so ex. ein x [mm] \in M_1: [/mm] f(x)=y
Nun pack Dir mal ein y [mm] \in M_2. [/mm] Dieses hat die Form y=2k mit k [mm] \in \IN
[/mm]
Wie mußt Du x wählen, dass f(x)=2k ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Sa 13.11.2010 | | Autor: | pancakes |
gut.. also nochmal von vorn:
ist y aus M2, dann gibt es ein x aus M1 mit f(x) = y .
y = 2k mit k aus IN
y = 2k | :2
y/2 = k
Also hat y das Urbild y/2 und damit ist es surjektiv.
Korrekt?
Edit:
habe hier noch ein Bsp und habe versucht, es darauf anzuwenden:
M1= IN, M2 = {n: n aus N, [mm] n\ge2781}
[/mm]
injektiv: f(n) = 2781 + (2n+1)²
n1 ungleich n2 => 2781+ (2n1+1)² ungleich 2781 + (2n2+1)² => f(n1) ungleich f(n2).
surjektiv: y aus M2. Es gibt ein x aus M1 für das gilt: f(x)=y.
y=2781+(2k+1)²
y-2781=(2k+1)²
(y-2781)/2 = 2k²+4k
(y-2781)/8 = k²+k
und damit ist es auch surjektiv.
Habe ich jetzt wieder murks gemacht, oder ist das richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 So 14.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> gut.. also nochmal von vorn:
> ist y aus M2, dann gibt es ein x aus M1 mit f(x) = y .
> y = 2k mit k aus IN
> y = 2k | :2
> y/2 = k
> Also hat y das Urbild y/2 und damit ist es surjektiv.
> Korrekt?
>
> Edit:
> habe hier noch ein Bsp und habe versucht, es darauf
> anzuwenden:
> M1= IN, M2 = {n: n aus N, [mm]n\ge2781}[/mm]
>
> injektiv: f(n) = 2781 + (2n+1)²
> n1 ungleich n2 => 2781+ (2n1+1)² ungleich 2781 +
> (2n2+1)² => f(n1) ungleich f(n2).
O.K.
>
> surjektiv:
Deine obige Abb. ist nicht surjektiv, denn 2783 [mm] \notinf(\IN) [/mm]
> y aus M2. Es gibt ein x aus M1 für das gilt:
> f(x)=y.
> y=2781+(2k+1)²
> y-2781=(2k+1)²
> (y-2781)/2 = 2k²+4k
> (y-2781)/8 = k²+k
Das ist ja grausam ! Das strotzt vor Rechenfehlern !
FRED
> und damit ist es auch surjektiv.
>
> Habe ich jetzt wieder murks gemacht, oder ist das richtig?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 15.11.2010 | | Autor: | pancakes |
Hmm.. also ich denke das ist schon surjektiv. Denn N ist ja unendlich... also kann ich doch die 1 auf die 2781 abbilden usw, ohne, dass mir Zahlen fehlen, oder nicht?
Meine Formel war aber trotzdem Unsinn, weil ich irgendwie dachte, ich wäre in den reellen Zahlen und müsste das Minus wegbekommen. Muss ich aber nicht. Von daher:
injektiv: f(n) = x + 2781
n1 ungleich n2 => 2781+ (n1) ungleich 2781 + (n2) => f(n1) ungleich f(n2).
surjektiv: y aus M2. Es gibt ein x aus M1 für das gilt: f(x)=y.
y=2781+k | -2781
y-2781 = k
und damit ist es auch surjektiv.
Jetzt sollte es stimmen, oder? Ich bin noch etwas unsicher...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:54 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hmm.. also ich denke das ist schon surjektiv. Denn N ist ja
> unendlich... also kann ich doch die 1 auf die 2781 abbilden
> usw, ohne, dass mir Zahlen fehlen, oder nicht?
>
> Meine Formel war aber trotzdem Unsinn, weil ich irgendwie
> dachte, ich wäre in den reellen Zahlen und müsste das
> Minus wegbekommen. Muss ich aber nicht. Von daher:
>
> injektiv: f(n) = x + 2781
Verarsch... kan ich mich selber ! Obiges f ist ein anderes als das welches Du ursprünglich angegeben hast:
f(n) = 2781 + (2n+1)²
FRED
> n1 ungleich n2 => 2781+ (n1) ungleich 2781 + (n2) => f(n1)
> ungleich f(n2).
>
> surjektiv: y aus M2. Es gibt ein x aus M1 für das gilt:
> f(x)=y.
> y=2781+k | -2781
> y-2781 = k
> und damit ist es auch surjektiv.
>
> Jetzt sollte es stimmen, oder? Ich bin noch etwas
> unsicher...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Di 16.11.2010 | | Autor: | pancakes |
f war ja auch nicht gegeben.
Daher sagte ich, dass meine erste Formal keinen Sinn gemacht hat.
Habe aber keine Lust, mich hier so anmachen zu lassen.
Thema kann geschlossen werden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Di 16.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> f war ja auch nicht gegeben.
> Daher sagte ich, dass meine erste Formal keinen Sinn
> gemacht hat.
> Habe aber keine Lust, mich hier so anmachen zu lassen.
> Thema kann geschlossen werden.
Noch nicht !
Wir rekapitulieren:
Du gibst die Funktion f(n) = 2781 + (2n+1)² an und sagst oben: f ist surjektiv.
Ich sage dann: f ist nicht surjektiv.
Darauf Du:" Hmm.. also ich denke das ist schon surjektiv". Und wie hast Du das beründet:
mit f(n) = 2781 + n.
Da komm ich mir veralbert vor. Würde es Dir anders gehen ?
FRED
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