Allgemeine Frage zu Integralen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:39 Fr 17.10.2008 | | Autor: | verwirrrt |
| Aufgabe | Fläche zwischen Graphen und x-Achse im Intervall [-1;2]
f(x)=(x-1)(x+2)(x-3) |
Eigentlich habe ich die Aufgabe rechnerisch schon gelöst, habe aber ein Verständnisproblem.
f(x)=(x-1)(x+2)(x-3) Nullstellen demnach: (1/0) (-2/0) (3/0)
[mm] f(x)=x^3+x^2+2,5x-3
[/mm]
Aufgrund der Nullstellen entstehen die Berechnungsräume -1 bis 1 und 1 bis 2.
[mm] (1/4)*x^4+(1/3)x^3+(5/4)x^2-3x
[/mm]
A1= 5,33333...
Jetzt meine Frage
A2= A (2) - A (1)
A2 = 5,666... - (-1,16666...)
Der Bereich von 0 bis 2 hat den Flächeninhalt 5,6666. Da ich aber den Bereich von 0 bis 1 abziehen muss, muss der Bereich ja kleiner werden. Bin irgendwie verwirrt und verstehe nicht wie das sein kann. Das Problem ist mir schon mal aufgefallen bin damals aber nicht weiter darauf eingegangen.
Hab im Internet leider keinen Integralrechner gefunden mit dem ich die Fläche ausrechnen kann.
Mein weiteres Ergebnis wäre dann:
A2 = 6,83
Ages = A1 + A2
Ages = 12,166666666....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Fr 17.10.2008 | | Autor: | Disap |
Hallo
> Fläche zwischen Graphen und x-Achse im Intervall [-1;2]
>
> f(x)=(x-1)(x+2)(x-3)
> Eigentlich habe ich die Aufgabe rechnerisch schon gelöst,
> habe aber ein Verständnisproblem.
>
> f(x)=(x-1)(x+2)(x-3) Nullstellen demnach: (1/0) (-2/0)
> (3/0)
> [mm]f(x)=x^3+x^2+2,5x-3[/mm]
Was ist das? Eine neue Funktion? (x-1)(x+2)(x-3) ist nicht gleich [mm] x^3+x^2+2.5x [/mm] -3!!!!
> Aufgrund der Nullstellen entstehen die Berechnungsräume -1
> bis 1 und 1 bis 2.
Ganz genau.
> [mm](1/4)*x^4+(1/3)x^3+(5/4)x^2-3x[/mm]
>
> A1= 5,33333...
Deswegen stimmt das hier gerade auch nicht... Also weil die Funktionen nicht übereinstimmen
>Jetzt meine Frage
>
> A2= A (2) - A (1)
Schreib mal bitte genauer auf, was du mit A(2) und A(1) bezeichnest.
> A2 = 5,666... - (-1,16666...)
>
> Der Bereich von 0 bis 2 hat den Flächeninhalt 5,6666. Da
> ich aber den Bereich von 0 bis 1 abziehen muss,
Warum musst du da etwas abziehen?
>muss der
> Bereich ja kleiner werden. Bin irgendwie verwirrt und
> verstehe nicht wie das sein kann. Das Problem ist mir schon
> mal aufgefallen bin damals aber nicht weiter darauf
> eingegangen.
Wovon redest du da? Du sollst die Fläche zwischen Funktion und x-Achse berechnen. Wie du schon richtig erkannt hast, spielen dafür die Nullstellen eine Rolle. Du musst also zwei Integrale berechnen, von -1 bis +1 und einmal von 1 bis 2 (sagtest du ja auch)
Es gilt (in der Theorie)
A = [mm] \int^1_{-1} [/mm] f(x)dx + [mm] \int^2_1 [/mm] f(x) dx
Jetzt kann es leider sein, dass eines der beiden Integrale am Ende noch leider einen negativen Wert liefert, deswegen gilt (immer)
$A = | [mm] \int^1_{-1} [/mm] f(x)dx| + | [mm] \int^2_1 [/mm] f(x) dx|$
Wobei das betragsstriche sind, du berechnest das Integral, da kommt dann z. B. heraus: - 42
|-42| = +42
Der Betrag : immer positive Zahl, wenn eine Zahl negativ ist, mach sie positiv (indem du mit -1 malnimmst)
Du addierst die beiden Integrale, da ziehst du nichts ab, und da wird auch nichts kleiner.
Kleiner wird es unter Umständen, wenn du direkt von -1 bis 2 integrierst,
> Hab im Internet leider keinen Integralrechner gefunden mit
> dem ich die Fläche ausrechnen kann.
>
> Mein weiteres Ergebnis wäre dann:
>
> A2 = 6,83
>
> Ages = A1 + A2
> Ages = 12,166666666....
Hier addierst du aber ganz brav :)
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
|
|
|
| |
|
Hm, komisch weiß auch nicht was ich da ausgerechnet habe.
Es müsste [mm] f(x)=x^3-2x^2-5x+6 [/mm] rauskommen.
Dass ich Betragsstriche usw. benutzen muss weiß ich ja.
Was ich eigentlich meinte ist, dass wenn ich den Bereich von 1 bis 2 ausrechne, ja praktisch zwei Teilrechnungen machen, da ich zumindest in meinen Taschenrechner das Integral nicht direkt eingeben kann.
Also rechne ich ja zuerst das Integral von 0 bis 2 aus und ziehe dann davon das Integral von 0 bis 1 ab.
Was mich bei meiner Aufgabe verwunderte war, dass durch das Abziehen des Integrals von 0 bis 1 mein Gesamtergebnis größer wurde.
Das mit den Betragsstrichen verstehe ich, aber wie kann sich den das Integral von 0 bis 2, der unter der x-Achse liegt dadurch verändern, dass ich das Integral von 0 bis 1 davon abziehe, dass ja über der x-Achse liegt?
[Externes Bild http://img233.imageshack.us/my.php?image=bild4gh6.png]
|
|
|
| |
|
Hallo,
jetzt hast du die Klammern korrekt aufgelöst die Nullstellen hast du auch schon, im Intervall -1 bis 2 liegt die Nullstelle 1, somit unterteilen wir die Rechnung in zwei Integrale
[mm] |\integral_{-1}^{1}{x^3-2x^2-5x+6 dx}|+|\integral_{1}^{2}{x^3-2x^2-5x+6dx}|
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Mein Problem tritt bei dem zweiten Abschnitt auf. Ich kann keine ganzen Intervalle berechnen lassen deswegen muss ich A(2)-A(1) rechnen.
D.h., ich tippe die ganze Stammfunktion ab und einmal mit x=2 und dann mit x=1. Dann ziehe ich das Zweite vom Ersten ab.
Dadurch ergibt sich erst mein Problem. Es ist ein reines Verständnisproblem.
Angenommen A(2) wäre positiv und A(1) negativ.
Dann würde die Fläche A(2) durch das Abziehen der Fläche A(1) größer werden. Das ist das Einzige was ich nicht verstehen kann, das Ergebnis der Aufgabe habe ich bereits ausgerechnet, das ist 13,083333333333.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 17.10.2008 | | Autor: | abakus |
Es gibt keine negativen Flächen.
Berechne beide Teilintegrale getrennt. Wenn das Integral negativ ist, ist der zugehörige Flächeninhalt trotzdem positiv.
Nimm also von beiden Integralen den Betrag (entspricht den beiden Teilflächen) und ADDIERE sie.
Gruß Abakus
|
|
|
|
