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| Aufgabe | a) (3P.) Prüfen Sie, ob die Punkte (0,1), (1,2), (1,1) und (1,3) des [mm] \IR^{2} [/mm] in allgemeiner Lage sind.
b) (4P.) Prüfen Sie, ob die Punkte (0,1,0), (0,1,2), (1,2,1), (1,3,1) und (1,1,0) des [mm] \IR^{3} [/mm] in allgemeiner Lage sind.
Definition Ein System [mm] P_{0}, P_{1},...,P_{N} [/mm] von Elementen aus dem Vektorraum V heißt in allgemeiner Lage, sofern jedes Teilsystem mit höchstens n+1 Elementen affin unabhängig ist. (n=dimV)
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Hallo!
Ich habe zu beiden (Teil-) Aufgaben einen Lösungsansatz. Jedoch vermute ich, dass dieser falsch ist, da es ja 3 bzw. 4 Punkte auf die Lösung geben soll. Vielleicht könnt ihr mir ja sagen mein Fehler liegt, falls es einen gibt. Vielen Dank.
zu a) Die Dimension des [mm] \IR^{2} [/mm] ist 2. Also muss jedes Teilsystem von (2+1) Punkten affin unabhängig sein. Ich berechne die VANDERMONDE-Determinate der letzten drei Punkte: [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2^2 & 1^2 & 3^2 } [/mm] = (1-1)*(1-1)*(1-1) = 0. [mm] \Rightarrow [/mm] Dieses Teilsystem ist affin abhängig und somit befinden sich alle vier Punkte nicht in allgemeiner Lage.
zu b) Die Dimension des [mm] \IR^{3} [/mm] ist 3. Also muss jedes Teilsystem von (3+1) Punkten affin unabhängig sein. Ich berechne die VANDERMONDE-Determinate der ersten vier Punkte: [mm] \vmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1^2 & 1^2 & 2^2 & 3^2 \\ 0^3 & 2^3 & 1^3 & 1^3} [/mm] = (0-0)*(1-0)*(1-0)*(1-0)*(1-0)*(1-1)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Dieses Teilsystem ist affin abhängig und somit befinden sich alle fünf Punkte nicht in allgemeiner Lage.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 14.06.2009 | | Autor: | klaeuschen |
Kann mir denn keiner helfen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:54 So 14.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> a) (3P.) Prüfen Sie, ob die Punkte (0,1), (1,2), (1,1) und
> (1,3) des [mm]\IR^{2}[/mm] in allgemeiner Lage sind.
> b) (4P.) Prüfen Sie, ob die Punkte (0,1,0), (0,1,2),
> (1,2,1), (1,3,1) und (1,1,0) des [mm]\IR^{3}[/mm] in allgemeiner
> Lage sind.
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> Definition Ein System [mm]P_{0}, P_{1},...,P_{N}[/mm] von Elementen
> aus dem Vektorraum V heißt in allgemeiner Lage, sofern
> jedes Teilsystem mit höchstens n+1 Elementen affin
> unabhängig ist. (n=dimV)
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> Hallo!
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> Ich habe zu beiden (Teil-) Aufgaben einen Lösungsansatz.
> Jedoch vermute ich, dass dieser falsch ist, da es ja 3 bzw.
> 4 Punkte auf die Lösung geben soll. Vielleicht könnt ihr
> mir ja sagen mein Fehler liegt, falls es einen gibt. Vielen
> Dank.
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> zu a) Die Dimension des [mm]\IR^{2}[/mm] ist 2. Also muss jedes
> Teilsystem von (2+1) Punkten affin unabhängig sein. Ich
> berechne die VANDERMONDE-Determinate der letzten drei
> Punkte: [mm]\vmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2^2 & 1^2 & 3^2 }[/mm]
> = (1-1)*(1-1)*(1-1) = 0. [mm]\Rightarrow[/mm] Dieses Teilsystem ist
> affin abhängig und somit befinden sich alle vier Punkte
> nicht in allgemeiner Lage.
Was genau tust du da?! Also was machst du da mit einer Vandermonde-Determinante?! Du musst doh einfach [mm] $\det\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 }$ [/mm] ausrechnen (also jeweils eine 1 oben dazu, aber keine Potenzen nehmen!) und gucken ob das 0 ist. (Das ist hier 0 wegen zwei gleichen Zeilen.) Deine Rechnung mit $(1 - 1) * (1 - 1) * (1 - 1)$ macht hier keinen Sinn, da das keine Vandermonde-Matrix ist.
Bei b) dann genau das gleiche.
LG Felix
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