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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:20 Mo 13.06.2016 | | Autor: | Ice-Man |
| Aufgabe | Ermitteln Sie die allgemeine Lösung.
a) [mm] x^{2}y''-xy'+2y=0
[/mm]
Angegeben Lösung: [mm] y=x(C_{1}cos[ln(x)]+C_{2}sin[ln(x)]
[/mm]
b) [mm] x^{2}y''-3xy'+4y=ln(x)
[/mm]
Angegebene Lösung: [mm] \bruch{1}{4}[1+ln(x)]+x^{2}[C_{1}+C_{2}ln(x)]
[/mm]
c) [mm] x^{2}y''-4xy'+6y=x^{5}
[/mm]
Angegebene Lösung: [mm] (\bruch{x^{3}}{6}+C_{1}x+C_{2})x^{2} [/mm] |
Hallo,
ich habe hier einmal versucht diese Aufgaben zu rechnen. Allerdings habe ich den ein oder anderen Fehler.
Vielleicht kann mir ja jemand meine Fehler evtl. bitte aufzeigen und mir somit weiterhelfen. Dafür wäre ich dankbar.
[mm] C_{1,2} [/mm] sind konstanten. Und ich würde jetzt einfach mal den allgemeinen Ansatz weg lassen. Sorry schon einmal dafür.
a)
[mm] \lambda^{2}-2\lambda+2=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=-1+j
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-1+j
[/mm]
[mm] y=C_{1}e^{-1+j*x}+C_{2}e^{-1+j*x}=C_{1}e^{^-1-j}e^{x}+C_{2}e^{-1+j}e^{x}
[/mm]
[mm] y=xC_{1}cos(\bruch{1}{x})+xC_{2}sin(\bruch{1}{x})
[/mm]
b)
[mm] y_{Homogen}=C_{1}x^{2}+C_{2}x*ln(x)
[/mm]
[mm] y_{Partikulär} [/mm] (Ansatz)=A*ln(x)
[mm] y'=\bruch{A}{x}
[/mm]
[mm] y''=-\bruch{A}{x^{2}}
[/mm]
Einsetzen in die Ausgangsgleichung,
[mm] x^{2}(-\bruch{A}{x^{2}})-3x(\bruch{A}{x})+4A*ln(x)=ln(x)
[/mm]
-A+3A+4A*ln(x)=ln(x)
A(-1-3+4)ln(x)=ln(x)
0=ln(x) Das ist ja Unsinn
c)
[mm] y_{Homogen}=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{2}
[/mm]
[mm] y_{Partikulär} (Ansatz)=Ax^{5}
[/mm]
[mm] y'=5Ax^{4}
[/mm]
[mm] y''=20Ax^{3}
[/mm]
Einsetzen in die Ausgangsgleichung:
[mm] x^{2}(20Ax^{3})-4x(5Ax^{4})+6Ax^{5}=x^{2}
[/mm]
[mm] A=\bruch{1}{6x^{3}}
[/mm]
[mm] y=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{2}+\bruch{1}{6x^{3}}=(\bruch{1}{6x^{5}}+C_{1}x+C_{2})x^{2}
[/mm]
Ich hoffe ich habe alles einigermaßen ausreichend formuliert. Sollte das nicht der Fall sein dann entschuldige ich mich schon einmal ;).
Dann nochmal vielen Dank im voraus.
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Hallo Ice-Man,
> Ermitteln Sie die allgemeine Lösung.
>
> a) [mm]x^{2}y''-xy'+2y=0[/mm]
>
> Angegeben Lösung: [mm]y=x(C_{1}cos[ln(x)]+C_{2}sin[ln(x)][/mm]
>
> b) [mm]x^{2}y''-3xy'+4y=ln(x)[/mm]
>
> Angegebene Lösung:
> [mm]\bruch{1}{4}[1+ln(x)]+x^{2}[C_{1}+C_{2}ln(x)][/mm]
>
> c) [mm]x^{2}y''-4xy'+6y=x^{5}[/mm]
>
> Angegebene Lösung: [mm](\bruch{x^{3}}{6}+C_{1}x+C_{2})x^{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich habe hier einmal versucht diese Aufgaben zu rechnen.
> Allerdings habe ich den ein oder anderen Fehler.
>
> Vielleicht kann mir ja jemand meine Fehler evtl. bitte
> aufzeigen und mir somit weiterhelfen. Dafür wäre ich
> dankbar.
> [mm]C_{1,2}[/mm] sind konstanten. Und ich würde jetzt einfach mal
> den allgemeinen Ansatz weg lassen. Sorry schon einmal
> dafür.
>
> a)
>
> [mm]\lambda^{2}-2\lambda+2=0[/mm]
Da Du die charakteristische Gleichung richtig hast, hast Du wohl zuvor richtig substituiert: [mm] $x\;=\;e^t$
[/mm]
Danach wird es aber fehlerhaft - in Sonderheit bei der späteren Resubstitution: [mm] $t\;=\;ln(x)$ [/mm] .
[mm]\lambda_{1,2}\;=\;1 \pm \;i[/mm]
[mm] $u(t)\;=\;e^t* \left[ \;C_{1}*sin(t)+C_{2}*cos(t) \right]$ [/mm] Nun resubstitutieren, mit: [mm] $t\;=\;ln(x)$
[/mm]
[mm] $y(x)\;=\;e^{ln(x)}* \left[ \;C_{1}*sin(ln(x))+C_{2}*cos(ln(x)) \right]$
[/mm]
[mm] $y(x)\;=\;x* \left[ \;C_{1}*sin(ln(x))+C_{2}*cos(ln(x)) \right]$
[/mm]
> [mm]\lambda_{1}=-1+j[/mm]
> [mm]\lambda_{2}=-1+j[/mm]
>
> [mm]y=C_{1}e^{-1+j*x}+C_{2}e^{-1+j*x}=C_{1}e^{^-1-j}e^{x}+C_{2}e^{-1+j}e^{x}[/mm]
> [mm]y=xC_{1}cos(\bruch{1}{x})+xC_{2}sin(\bruch{1}{x})[/mm]
>
> b)
>
> [mm]y_{Homogen}=C_{1}x^{2}+C_{2}x*ln(x)[/mm]
Nein. [mm]\lambda_{1,2}\;=\;2[/mm]
[mm] $u(t)\;=\;e^{2t}*\left[C_1*t+C_2 \right]$ [/mm] Nun resubstitutieren, mit: [mm] $t\;=\;ln(x)$
[/mm]
[mm] $y(x)\;=\;e^{2*ln(x)}*\left[C_1*ln(x)+C_2 \right]$ [/mm]
[mm] $y(x)_{(hom)}\;=\;x^2*\left[C_1*ln(x)+C_2 \right]$ [/mm]
[mm] $y_{Partikulaer}(Ansatz)=A*ln(x)+B$ [/mm] und [mm] $y_p'\;=\;\frac{A}{x}$ [/mm] und [mm] $y_p''\;=\;\frac{-A}{x^2}$
[/mm]
Nun einsetzen in die inhomogene DGL:
[mm] $-A-3*A+4*A*ln(x)+4*B\;=\;ln(x)$
[/mm]
[mm] $4*A*ln(x)+4*B-4*A\;=\;1*ln(x)$
[/mm]
Koeffizientenvergleich liefert;
[mm] $A\;=\;\frac{1}{4}$ [/mm] und [mm] $B\;=A\;\;=\;\frac{1}{4}$
[/mm]
Damit lautet die partikuläre Lösung:
[mm] $y_p\;=\;\frac{1}{4}*ln(x)+\frac{1}{4}\;=\;\frac{1}{4}*(ln(x)+1)$ [/mm]
und die vollständige Lösung:
[mm]y(x)\;=\;\bruch{1}{4}*[1+ln(x)]+x^{2}*[C_{2}+C_{1}*ln(x)][/mm]
>
> [mm]y_{Partikulär}[/mm] (Ansatz)=A*ln(x)
> [mm]y'=\bruch{A}{x}[/mm]
> [mm]y''=-\bruch{A}{x^{2}}[/mm]
>
> Einsetzen in die Ausgangsgleichung,
>
> [mm]x^{2}(-\bruch{A}{x^{2}})-3x(\bruch{A}{x})+4A*ln(x)=ln(x)[/mm]
>
> -A+3A+4A*ln(x)=ln(x)
>
> A(-1-3+4)ln(x)=ln(x)
>
> 0=ln(x) Das ist ja Unsinn
Ja.
>
> c)
>
> [mm]y_{Homogen}=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{2}[/mm]
Diesmal ist die homogene Lösung richtig.
>
> [mm]y_{Partikulär} (Ansatz)=Ax^{5}[/mm]
Nein.
[mm]y_{Partikulaer} (Ansatz)=A*x^{5}+B*x^{4}+C*x^{3}+D*x^{2}+E*x+F[/mm]
[mm] $y_p'\;=\;5*A*x^{4}+4*B*x^{3}+3*C*x^{2}+2*D*x+E$
[/mm]
[mm] $y_p''\;=\;20*A*x^{3}+12*B*x^{2}+6*C*x+2*D$
[/mm]
Nun in die inhomogene DGL einsetzen:
[mm] $20*A*x^{5}+12*B*x^{4}+6*C*x^3+2*D*x^2-20*A*x^{5}-16*B*x^{4}-12*C*x^{3}-8*D*x^2-4*E*x+6*A*x^{5}+6*B*x^{4}+6*C*x^{3}+6*D*x^{2}+6*E*x+6*F\;=\;1*x^5$
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
[mm] $x^5*(20A-20A+6A)\;=\;1*x^5$ [/mm] Daraus: [mm] $A\;=\;\frac{1}{6}$
[/mm]
Das Eintippen des Restes erspare ich mir.
Die partikuläre Lösung lautet daher: [mm] $y_p\;=\;\frac{1}{6}*x^5$
[/mm]
Die vollständige Lösung ist:
[mm]y\;=\;C_{1}*x^{3}+C_{2}*x^{2}+\frac{x^5}{6}[/mm]
oder eben:
[mm]y\;=\;x^2*\left(C_{1}*x+C_{2}+\frac{x^3}{6}\right)[/mm]
>
> [mm]y'=5Ax^{4}[/mm]
> [mm]y''=20Ax^{3}[/mm]
>
> Einsetzen in die Ausgangsgleichung:
>
> [mm]x^{2}(20Ax^{3})-4x(5Ax^{4})+6Ax^{5}=x^{2}[/mm]
>
> [mm]A=\bruch{1}{6x^{3}}[/mm]
>
> [mm]y=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{2}+\bruch{1}{6x^{3}}=(\bruch{1}{6x^{5}}+C_{1}x+C_{2})x^{2}[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe alles einigermaßen ausreichend
> formuliert. Sollte das nicht der Fall sein dann
> entschuldige ich mich schon einmal ;).
>
> Dann nochmal vielen Dank im voraus.
>
LG, Martinius
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