Allgemeine Lösung bestimmen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Mi 27.12.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme für x>0 die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y`(x)-\bruch{y(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(x+1)^2} [/mm] |
Hallo,
ich stehe bei dieser Aufgabe eine wenig auf dem Schlauch unf hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
Die Lösung soll sein: y(x) = Cx - [mm] \bruch{x}{x+1}
[/mm]
Nun bin ich mir schon nicht sicher, welches Lösungsverfahren hier am besten wäre!?
Könnt ihr mir das einen Tipp geben ?
Danke
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Hallo,
> Bestimme für x>0 die allgemeine Lösung der
> Differentialgleichung
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> [mm]y'(x)-\bruch{y(x)}{x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(x+1)^2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich stehe bei dieser Aufgabe eine wenig auf dem Schlauch
> unf hoffe, dass ihr mir helfen könnt.
>
> Die Lösung soll sein: y(x) = Cx - [mm]\bruch{x}{x+1}[/mm]
>
> Nun bin ich mir schon nicht sicher, welches
> Lösungsverfahren hier am besten wäre!?
Es funktioniert per Variation der Konstanten. Hilft dir das schon weiter oder benötigst du weitere Tipps?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Do 28.12.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Hier einmal mein Ansatz
Zunächst habe ich den homogenen Teil bestimmt:
y'(x) - [mm] \bruch{y(x)}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(x+1)^2}
[/mm]
y'(x) - [mm] \bruch{y(x)}{x} [/mm] = 0
[mm] \bruch{dy}{dx}= \bruch{y(x)}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}dy [/mm] = [mm] \bruch{1}{x}dx
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y}dy} [/mm] = [mm] \integral{\bruch{1}{x}dx}
[/mm]
ln|y| = ln|x| + C
|y| = [mm] e^{ln|x|+c }
[/mm]
y = Cx
Die Variation ergibt dann:
y= C(x)x
Nun habe ich y abgeleitet und folgendes raus:
y'= C'(x)x+C(x)
Das ganz dann in meine ursprüngliche Gleichung eingesetzt:
[mm] C'(x)x+C(x)-\bruch{C(x)*x}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{(x+1)^2}
[/mm]
C'(x)x = [mm] \bruch{x}{(x+1)^2}
[/mm]
C'(x) = [mm] \bruch{x^2}{(x+1)^2}
[/mm]
Nun muss ich das ganze ja noch integrieren um C(x) zu erhalten und das dann wieder einsetzten.
Ist meine Lösung bis hierher denn richtig?
Vielen Dank
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Hallo,
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Hier einmal mein Ansatz
>
> Zunächst habe ich den homogenen Teil bestimmt:
>
> y'(x) - [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(x+1)^2}[/mm]
>
> y'(x) - [mm]\bruch{y(x)}{x}[/mm] = 0
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}= \bruch{y(x)}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y}dy[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}dx[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}dy}[/mm] = [mm]\integral{\bruch{1}{x}dx}[/mm]
>
> ln|y| = ln|x| + C
>
> |y| = [mm]e^{ln|x|+c }[/mm]
>
> y = Cx
>
> Die Variation ergibt dann:
>
> y= C(x)x
>
> Nun habe ich y abgeleitet und folgendes raus:
>
> y'= C'(x)x+C(x)
>
> Das ganz dann in meine ursprüngliche Gleichung
> eingesetzt:
>
> [mm]C'(x)x+C(x)-\bruch{C(x)*x}{x}[/mm] = [mm]\bruch{x}{(x+1)^2}[/mm]
>
> C'(x)x = [mm]\bruch{x}{(x+1)^2}[/mm]
>
> C'(x) = [mm]\bruch{x^2}{(x+1)^2}[/mm]
>
> Nun muss ich das ganze ja noch integrieren um C(x) zu
> erhalten und das dann wieder einsetzten.
>
> Ist meine Lösung bis hierher denn richtig?
>
Es passt alles, bis auf den letzten Schritt. Du dividierst die Gleichung doch durch x, um selbiges wegzubekommen. Also muss es am Ende heißen:
[mm]C'(x)= \frac{1}{(x+1)^2}[/mm]
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:58 Do 28.12.2017 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo Diophant,
nach Korrektur bin ich ohne weitere Probleme dann auch auf die Lösung gekommen!
Besten Dank für die Hilfe!
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Mi 27.12.2017 | | Autor: | fred97 |
Ich möchte mich etwas ausführlicher äußern als Diophant.
1. Es handelt sich um eine inhomogene lineare DGL. 1.Ordnung.
2. Bestimme die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen DGL
3. Bestimme eine spezielle Lösung der inhomogenen Dgl mit Variation der Konstanten
Wie lautet dann die allgemeine Lösung?
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