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| Aufgabe | Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für die lineare Differentialgleichung
u'(t) = [mm] \pmat{ 0 & \alpha \\ -\beta & 0 } [/mm] * u(t)
wobei [mm] \alpha,\beta [/mm] > 0 feste reelle Zahlen sind. |
Hallo zusammen,
ich scheitere bei dieser Aufgabe leider beim Bestimmen der Eigenvektoren.
Zunächst habe ich das charakteristische Polynom ermittelt:
[mm] \chi(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^2+\alpha*\beta
[/mm]
Daraus ergeben sich komplexe Eigenwerte:
[mm] \lambda_1 [/mm] = [mm] i\wurzel{\alpha \beta}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] -i\wurzel{\alpha \beta}
[/mm]
Nun muss für jeden Eigenwert [mm] (A-\lambda*E_2)x=0 [/mm] bestimmt werden, um jeweils einen Eigenvektor zu bestimmen.
Normalerweise würde ich dazu jetzt
[mm] (A-\lambda_1*E_2) [/mm] = [mm] \pmat{ -i\wurzel{\alpha \beta} & \alpha \\ -\beta & -i\wurzel{\alpha \beta} }
[/mm]
in die reduzierte Zeilenstufenform überführen.
Allerdings bietet sich das hier wohl nicht an, den "blöden" komplexen Eigenwerten sei Dank. Oder gibt es da geschickte Umformungstricks, die ich nicht sehe?
Allerdings bin ich selbst per Einsetzungs- und Gleichsetzungsverfahren nicht an ein vernünftiges Ergebnis gekommen.
Oder ist mein Ansatz gar falsch?
Meine Probleme haben derzeit also weniger mit der Differentialgleichung an sich zu tun, sondern sind vielmehr von … grundlegender Natur.
Bitte helft mir weiter!
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
> Bestimmen Sie die allgemeine Lösung für die lineare
> Differentialgleichung
>
> u'(t) = [mm]\pmat{ 0 & \alpha \\ -\beta & 0 }[/mm] * u(t)
>
> wobei [mm]\alpha,\beta[/mm] > 0 feste reelle Zahlen sind.
>
> Hallo zusammen,
>
> ich scheitere bei dieser Aufgabe leider beim Bestimmen der
> Eigenvektoren.
>
> Zunächst habe ich das charakteristische Polynom
> ermittelt:
> [mm]\chi(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^2+\alpha*\beta[/mm]
>
> Daraus ergeben sich komplexe Eigenwerte:
> [mm]\lambda_1[/mm] = [mm]i\wurzel{\alpha \beta}[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] =
> [mm]-i\wurzel{\alpha \beta}[/mm]
>
> Nun muss für jeden Eigenwert [mm](A-\lambda*E_2)x=0[/mm] bestimmt
> werden, um jeweils einen Eigenvektor zu bestimmen.
>
> Normalerweise würde ich dazu jetzt
>
> [mm](A-\lambda_1*E_2)[/mm] = [mm]\pmat{ -i\wurzel{\alpha \beta} & \alpha \\ -\beta & -i\wurzel{\alpha \beta} }[/mm]
>
> in die reduzierte Zeilenstufenform überführen.
>
> Allerdings bietet sich das hier wohl nicht an, den
> "blöden" komplexen Eigenwerten sei Dank. Oder gibt es da
> geschickte Umformungstricks, die ich nicht sehe?
>
> Allerdings bin ich selbst per Einsetzungs- und
> Gleichsetzungsverfahren nicht an ein vernünftiges Ergebnis
> gekommen.
> Oder ist mein Ansatz gar falsch?
>
> Meine Probleme haben derzeit also weniger mit der
> Differentialgleichung an sich zu tun, sondern sind vielmehr
> von … grundlegender Natur.
>
Bestimme zunächst allgemein die Eigenvektoren:
[mm](A-\lambda*E_2)[/mm] = [mm]\pmat{ -\lambda & \alpha \\ -\beta & -\lambda }[/mm]
Setze dann für [mm]\lambda[/mm] die errechneten Eigenwerte ein.
> Bitte helft mir weiter!
>
> Viele Grüße
> Patrick
Gruss
MathePower
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Hallo MathePower,
danke für den Tipp!
Ich habe jetzt zu den beiden Eigenwerten
[mm] \lambda_1 [/mm] = i [mm] \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta}
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = -i [mm] \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta} [/mm]
folgende Eigenvektoren ermittelt:
[mm] v_1 [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}
[/mm]
[mm] v_2 [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}
[/mm]
und damit folgende allgemeine Lösung ermittelt:
u(t) = [mm] C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1 [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \cdot v_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] u(t) = [mm] C_1 \cdot e^{\left( i \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta} \right) t} \cdot \vektor{-\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1} [/mm] + [mm] C_2 \cdot e^{\left( -i \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta} \right) t} \cdot \vektor{\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}
[/mm]
Ist das ein korrekter Lösungsweg (und ist die Lösung korrekt)?
Viele Grüße
Patrick
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Hallo Apfelchips,
> Hallo MathePower,
>
> danke für den Tipp!
>
> Ich habe jetzt zu den beiden Eigenwerten
>
> [mm]\lambda_1[/mm] = i [mm]\wurzel{\alpha} \wurzel{\beta}[/mm]
> [mm]\lambda_2[/mm] =
> -i [mm]\wurzel{\alpha} \wurzel{\beta}[/mm]
>
> folgende Eigenvektoren ermittelt:
>
> [mm]v_1[/mm] = [mm]\vektor{-\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}[/mm]
>
> [mm]v_2[/mm] = [mm]\vektor{\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}[/mm]
>
> und damit folgende allgemeine Lösung ermittelt:
>
> u(t) = [mm]C_1 \cdot e^{\lambda_1 \cdot t} \cdot v_1[/mm] + [mm]C_2 \cdot e^{\lambda_2 \cdot t} \cdot v_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] u(t) = [mm]C_1 \cdot e^{\left( i \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta} \right) t} \cdot \vektor{-\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}[/mm]
> + [mm]C_2 \cdot e^{\left( -i \wurzel{\alpha} \wurzel{\beta} \right) t} \cdot \vektor{\bruch{i \wurzel{\alpha}}{\wurzel{\beta}} \\ 1}[/mm]
>
> Ist das ein korrekter Lösungsweg (und ist die Lösung
> korrekt)?
>
Ja, sofern die komplexe Lösung gefordert ist.
> Viele Grüße
> Patrick
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 02.06.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Vielen Dank!
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