Allgemeine Matrizen und deren Abbildungseigenschaften < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:37 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Vitaminless |
Allgemeine Matrizen!
Hallo Zusammen!
Wir behandeln gerade im Unterricht allgemeine Matrizen deren Abbildungseigenschaften man nicht unmittelbar ablesen kann. Dazu haben wir eine mathematische Methode entwickelt, mit der man angeblich die Eigenschaften der Matrix erkennt.
Hier ist erst mal ein Beispielrechnung, damit ihr wisst wovon ich eigentlich rede:
Abbildungseigenschaften der Matrix [mm]\begin{pmatrix}5 & 2 \\2 & 2 \end{pmatrix}[/mm] sollen ermittelt werden.
Zuerst stellt man die Behauptung auf:
[mm]\begin{pmatrix}5 & 2 \\2 & 2 \end{pmatrix}[/mm][mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\gamma[/mm][mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt wandelt man [mm]\gamma[/mm] in eine Matrix um, also [mm]\begin{pmatrix}\gamma & 0 \\0 & \gamma \end{pmatrix}[/mm] und bringt die rechten Term auf die linke Seit und fast zusammen. Man erhält:
[mm]\begin{pmatrix}5 - \gamma & 2 \\2 & 2 - \gamma \end{pmatrix}[/mm][mm]\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Jetzt hat man nichts besseres zu tun und wandelt die Matrixglieder in Vektoren um und transformiert die Komponenten der Ortsvektoren zu Skalarfaktoren:
x[mm]\begin{pmatrix} 5 - \gamma \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + y[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 - \gamma \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Die Rechnung bis dahin ist mir klar, doch was diese letzte Gleichung zu bedeuten hat, ist mir ein Rätsel
Die beiden Spaltenvektoren der Matrix sind linear abhängig zueinander, weswegen ihre Determinante den Wert O hat.
[mm]\begin{vmatrix} 5 - \gamma & 2 \\ 2 & 2 - \gamma \end{vmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Durch das ausrechnen der Determinante erhält man das charakteristische Polynom
:
(5 - [mm]\gamma[/mm]) (2-[mm]\gamma[/mm]) 2*2 = 0
= [mm]\gamma^2[/mm] - 7[mm]\gamma[/mm] + 6 = 0
Durch pq-Formel erhält man zwei Eigenwerte [mm]\gamma_1[/mm] = 6 und [mm]\gamma_2[/mm] = 1.
So jetzt kommt endlich der letzte Schritt, dessen Sinn ich überhaupt nicht verstehe:
Man setzt nun [mm]\gamma_1[/mm] und [mm]\gamma_2[/mm] in einer der beiden Gleichungen ein, die sich aus x[mm]\begin{pmatrix} 5 - \gamma \\ 2 \end{pmatrix}[/mm] + y[mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 2 - \gamma \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ergeben. Also z.B. in
x(5 - [mm]\gamma[/mm]) + 2y = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Setzt man [mm]\gamma_1[/mm] ein, so erhält man: y = [mm]\bruch{1}{2} [/mm]x
Setzt man [mm]\gamma_2[/mm] ein, so erhält man: y = -2x
Jetzt setzt man für x die niedrigste gerade Zahl ein, die möglich ist, ohne das y ungerade wird. Man erhält zwei Eigenvektoren:
Für [mm]\gamma_1[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
und für [mm]\gamma_2[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
Der Rechenweg ist bis aufs Ende für mich nachvollziehbar, allerdings sagt mir das Ergebnis überhaupt nichts über die Eigenschaften der Matrix. Was hat es mit diesen Eigenvektoren auf sich? Geben die irgendwelche Auskunft über das Abbildungsverhalten der Matrix? Ich erkenne da nichts
, ich steh auf dem Schlauch, sorry.
Ich wäre für jede Hilfe dankbar!
Danke und bis bald,
Vitaminless
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Hallo Vitaminless!
Das Eigenwertproblem bei Matrizen hat sehr wichtige Anwendungen in Gruppentheorie, Quantenmechanik, Quantenfeldtheorie u.v.m. Z.B. der Raum der Eigenvektoren einer Drehung ist die Drehachse.
Also lerne es gut, und hab' Geduld.
Schöne Grüße, 
Ladis
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Ich hoffe, ich werde deine "Wieso? Was? Warum?" - Fragen wenigstens einigermaßen klären können - zumindest die Fragen "Wie? Warum?" könnten danach erledigt sein 
Ist in der Tat ein wenig schwer, bei eurem anfänglichen "So rechnet man's" - Kenntnisstand aufzuzählen, wo diese Rechentechnik überalls von Bedeutung ist.
Es geht dabei (bei der Rechentechnik selber) alle Paare (Eigenwert;Eigenvektor) zu einer geg. Matrix zu finden, so dass die Gleichung
Matrix * Eigenvektor = Eigenwert * Eigenvektor
erfüllt ist, also
[mm] A*x=\lambda*x[/mm]
wobei A die Matrix, [mm]\lambda[/mm] der Eigenwert und [mm]x[/mm] der Eigenvektor ist.
Um die Rechentechnik ein wenig zu erklären: man stellt die Gleichung um nach
[mm] A*x - \lambda*x = 0[/mm] (Achtung: rechts der Nullvektor)
klammert das [mm]x[/mm] aus, hat dann die Gleichung
[mm] (A-\lambda*E)*x = 0[/mm]
Dann berechnet man mit dem "lin. abhängig, det=0"-Teil alle Eigenwerte, und setzt sie eben in die letzte Gleichung ein, um rauszufinden, für welche Vektoren [mm]x[/mm] (außer dem Nullvektor) diese Gleichung erfüllt ist, und das ist dann der Eigenvektor.
Ach ja, du hattest einen kleinen Fehler: [mm]\begin{vmatrix} 5 - \gamma & 2 \\ 2 & 2 - \gamma \end{vmatrix} = 0[/mm] muss es heißen, denn das Ergebnis einer Determinante ist immer ne Zahl, und kein Vektor.
Ich hoffe, ich konnte wenigstens ein wenig weiterhelfen...
Falls ich an einigen Stellen von zu viel Vorwissen ausgegangen bin:
Die Gleichung [mm]A*x=\lambda*x[/mm] ist deswegen möglich, weil bei der Multiplikation Matrix * Vektor (also [mm]A*x[/mm]) ein Vektor rauskommt, genauso wie [mm]\lambda*x[/mm] einer ist (mit [mm]\lambda[/mm] als Skalar, also Zahl).
Und später hab ich (als ich das [mm]x[/mm] ausgeklammert hab) plötzlich ein [mm]E[/mm] in der Klammer stehen gehabt - das ist die Einheitsmatrix, und die wird sozusagen als "die Zahl 1" eingefügt, da ein Ausdruck wie [mm]A-\lambda[/mm] keinen Sinn ergeben hätte - so, wie man bei
[mm]4x^2-2x=2x*(2x-1)[/mm]
"plötzlich" die Zahl 1 einfügt, wo vorher keine war - die Einheitsmatrix ist ja ezüglich der Multiplikation von Matrizen dasselbe, wie die Zahl 1 bezüglich der Multiplikation von Zahlen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mi 01.09.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ich möchte auch noch ein Bisschen beisteuern.
Eine Matrix beschreibt ja eine lineare Abbildung. Das sind, wenn man das geometrisch im Anschauungsraum interpretiert, Streckungen, Scherungen, Drehungen, Spiegelungen, Projektionen und Zusammensetzungen davon, wobei jeweils der Ursprungspunkt in den Ursprungspunkt überführt wird.
Die Eigenvektoren zeigen nun an, in welche Richtungen denn, wenn wir uns mal im 2-dimensionalen Raum bewegegen, die Ebene gestreckt wird. Die zugehörigen Eigenwerte zeigen an, wie stark denn in die jeweilige Richtung gestreckt wird.
Zeichne also mal bei deinem Beispiel die Eigenvektoren in die Ebene ein und lasse darauf die Abbildung, die durch die Matrix beschrieben wird, wirken. Du wirst sehen, dass sich die Richtung des Vektors nicht ändert, hingegen wird er gerade um den Eigenwert (als Faktor) verlängert! (Bei negativen Eigenwerten schaut er allerdings in die entgegengesetzte Richtung, wenn der Eigenwert vom Betrage her kleiner als 1 ist, dann verkürzt sich der zugehörige Eigenvektor natürlich!)
Du weisst vielleicht auch, dass sich Abbildungen (Funktionen) bei geschickter Wahl des Koordinatensystems stark vereinfachen lassen. Die Eigenvektoren haben auch die Bedeutung, dass sich, wenn sie zum Koordinatensystem gemacht werden, die Abbildung möglichst einfach darstellen lässt.
Stell dir zum Beispiel vor, eine Ebene wird gestreckt in Richtung (1,1) um den Faktor 2. Aus einem Ursprungskreis wird dadurch eine Ellipse gemacht, deren Längsachse eben in Richtung (1,1) zeigt. Die entsprechende Ellipsengleichung ist im ursprünglichen Koordinatensystem relativ kompliziert.
Wenn aber der Eigenvektor (1,1) zur x-Achse gemacht wird, und die y-Achse dann senkrecht dazu gewählt wird, dann sieht die Ellipsengleichung recht viel einfacher aus!
Also: Eigenvektoren werden auch gebraucht, um möglichst günstige Koordinatensysteme (Basisvektoren) zu finden.
Mit lieben Grüssen
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