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Allgemeine Spiegelung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:41 Fr 01.05.2015
Autor: Ne0the0ne

Aufgabe
Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem mit A(1,1) und der Spiegelachse g: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{2 \\ 0}+r\cdot \vektor{1 \\ 1}. [/mm]

Berechne A' für A gespiegelt an g.

Hallo,
ich habe mit der Aufgabe Probleme und zwar mit einem Lösungsweg.

Und zwar möchte ich A' mittels Spiegelungsmatrix ausrechnen und benutze dafür folgende Formel von unserer Dozentin:

[mm] \overrightarrow{x'}=\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }\cdot \overrightarrow{x} [/mm] + (E - [mm] \pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }) \cdot \overrightarrow{p} [/mm] mit [mm] \gamma [/mm] = [mm] 2\cdot \alpha [/mm]

also [mm] \overrightarrow{x'}=\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma } \cdot \vektor{1 \\ 1}+ (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] - [mm] \pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }) \cdot \vektor{1 \\ 1} [/mm] (da [mm] \overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}=A) [/mm]

Der Spiegelungswinkel [mm] \alpha [/mm] ist offensichtlich 45° groß.
Wenn ich nun die Werte alle einsetze,
also [mm] \overrightarrow{x'}=\pmat{ 0 & 1\\ 1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 1}+ (\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }) \cdot \vektor{1 \\ 1}, [/mm]
komme ich auf [mm] \overrightarrow{x'}= \vektor{1 \\ 1}, [/mm] was nicht stimmen kann.
Eigentlich sollte für [mm] \overrightarrow{x'}= \vektor{3 \\ -1} [/mm] rauskommen.

Nun weiß ich nach mehrmaliger Überprüfung immer noch nicht, was ich falsch mache.
Darum würde ich gerne eine Korrektur eurerseits erfahren.

Viele Grüße

        
Bezug
Allgemeine Spiegelung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Fr 01.05.2015
Autor: weduwe


> Gegeben sei ein kartesisches Koordinatensystem mit A(1,1)
> und der Spiegelachse g: [mm]\overrightarrow{x}=\vektor{2 \\ 0}+r\cdot \vektor{1 \\ 1}.[/mm]
>  
> Berechne A' für A gespiegelt an g.
>  Hallo,
>  ich habe mit der Aufgabe Probleme und zwar mit einem
> Lösungsweg.
>  
> Und zwar möchte ich A' mittels Spiegelungsmatrix
> ausrechnen und benutze dafür folgende Formel von unserer
> Dozentin:
>  
> [mm]\overrightarrow{x'}=\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }\cdot \overrightarrow{x}[/mm]
> + (E - [mm]\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }) \cdot \overrightarrow{p}[/mm]
> mit [mm]\gamma[/mm] = [mm]2\cdot \alpha[/mm]
>  
> also [mm]\overrightarrow{x'}=\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma } \cdot \vektor{1 \\ 1}+ (\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> - [mm]\pmat{ cos \gamma & sin \gamma \\ sin \gamma & -cos \gamma }) \cdot \vektor{1 \\ 1}[/mm]
> (da [mm]\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}=A)[/mm]
>  
> Der Spiegelungswinkel [mm]\alpha[/mm] ist offensichtlich 45°
> groß.
>  Wenn ich nun die Werte alle einsetze,
>  also [mm]\overrightarrow{x'}=\pmat{ 0 & 1\\ 1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 1}+ (\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & -1 }) \cdot \vektor{1 \\ 1},[/mm]
>  
> komme ich auf [mm]\overrightarrow{x'}= \vektor{1 \\ 1},[/mm] was
> nicht stimmen kann.
>  Eigentlich sollte für [mm]\overrightarrow{x'}= \vektor{3 \\ -1}[/mm]
> rauskommen.
>  
> Nun weiß ich nach mehrmaliger Überprüfung immer noch
> nicht, was ich falsch mache.
>  Darum würde ich gerne eine Korrektur eurerseits
> erfahren.
>  
> Viele Grüße

a) du hast dich bei der subtraktion der matrizen verrechnet
b) [mm] \vec{p}=\vektor{2\\0} [/mm]

womit man ans ziel kommt :-)

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