Alternat. zum Induktioinsverf. < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:58 So 10.09.2006 | | Autor: | Hady |
| Aufgabe | Es ist (k-1)²=k²-2k+1. Notiere untereinander die sich für k=1;2;3;...;n ergebenden Gleichungen. Zeige, dass durch "Addieren" dieser Gleichungen 0=n²-2(1+2+3+...+n)+n folgt und hieraus 1+2+3+...+n=1/2*n(n+1).
Berechne damit die Summe der ersten hundert natürlichen Zahlen. |
Mit dem Induktionsverfahren kann ich den Beweis nachvollziehen. Jedoch habe ich die Aufgabe es über diese Zwischengleichung [0=n²-2(1+2+3+...+n)+n] zu lösen.
Und kann mir bitte einer verraten, wie man Gleichungen addieren soll?
Der anfang ist ja klar:
(1-1)²=1²-2*1+1
(2-1)²=2²-2*2+1
(3-1)²=3²-2*3+1
...
(n-1)²=n²-2*n+1
... und jetzt sollte das Addieren kommen. Nur wie?
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Auch habe ich sie hier im Forum nicht gefunden.
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Alles addiert ergibt links bzw. rechts:
[mm]0^2 + 1^2 + 2^2 + \ldots + (n-1)^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 - 2 \cdot (1+2+3+\ldots+n) + (1+1+1+\ldots+1)[/mm]
Die Klammer aus Einsen ganz am Schluß macht zusammen [mm]n[/mm] (es waren ja [mm]n[/mm] Gleichungen) und durch Subtraktion fallen alle Quadrate außer [mm]n^2[/mm] weg. Der Rest sollte klar sein.
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