Alternative Methode gesucht ln < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebes Forum,
habe eine Frage an euch bezüglich einer alternativen Methode zum Ableiten folgender Funktion:
y= x^(arcot(x))
Da ich hier eine Funktion im Exponent habe kann ich ja wie folgt vorgehen:
1. Schritt: Umformen mit ln:
ln(y) = arcot(x) * ln(x)
2. Schritt: Ableiten:
[mm] \bruch{1}{y}* [/mm] y' = [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] * ln(x) + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * arcot(x)
3. Schritt: [mm] \bruch{1}{y} [/mm] auf die andere Seite bringen, also * y:
y'= y * [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] * ln(x) + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * arcot(x)
mein y ist ja die Ausgangsfunktion, also steht da:
y' = x^(arcot(x)) * [mm] (\bruch{-1}{x^{2}+1} [/mm] * ln(x) + [mm] \bruch{1}{x} [/mm] * arcot(x))
Nun meine Frage:
kann ich diese Funktion auch auf eine andere Weise ableiten, indem ich einfach die Kettenregel anwende? also so:
y= x^(arcot(x))
das ist doch eine Verschachtelung von 2 Funktionen:
u= arcot(x) u' = [mm] \bruch{-1}{x^{2}+1}
[/mm]
v= [mm] x^u [/mm] v' = ???
was muss mein v' sein, damit ich korrekt die Kettenregel anwenden kann und das selbe rausbekomme wie bei der ersten Methode? wenn ich v' = uv^(u-1), also Potenzregel anwende, kommt nicht das selbe Ergebnis raus.
Ich kenne noch folgende Ableitung von [mm] x^x [/mm] =' [mm] x^x [/mm] * ln(x)+1, aber selbst wenn ich das auf mein v anwenden möchte lieg ich falsch: [mm] x^u [/mm] =' [mm] x^u [/mm] * ln(u)+1 ????
Ich weiß etwas komische Frage aber wäre schön, wenn mir jemand helfen könnte.
Vielen Dank schon mal
Viele Grüße
Parvesh
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Loddar,
vielen Dank für die schnelle Antwort. Ja an diesen Schritt mit e^habe ich gar nicht gedacht. So funktioniert es dann.
Der Grund warum ich diese etwas komische Frage gestellt habe ist, weil ich eine Aufgabe hatte, bei dem beide Methoden wunderbar funktioniert haben und ich davon ausging, dass geht immer so.
Die Funktion lautet:
$y = [mm] 10^\wurzel{ln(cos(x)}$
[/mm]
Jetzt kann man hier die erste Methode anwenden indem man wieder durch-logarithmiert und man bekommt abgeleitet:
$y' = [mm] 10^{\wurzel{ln(cos(x))} * (-\bruch{ln(10)*sin(x)}{2\wurzel{ln(cos(x))}*cos(x)})$
Oder man löst sie mit der Kettenregel:
t= cos(x) t'=-sin(x)
u=ln(t) u'= 1/u
$v= \wurzel(u)$ $v'= \bruch{1}{2\wurzel{u}}$
$w= 10^v$ $w' = 10^v*ln(10)$
$y' = 10^\wurzel{ln(cos(x))} * ln(10) * \bruch{1}{2\wurzel{ln(cos(x))}}*\bruch{1}{cos(x)}*-sin(x)$
vereinfacht:
$y' = 10^(\wurzel{ln(cos(x))} * (-\bruch{ln(10)*sin(x)}{2\wurzel{ln(cos(x))}*cos(x)})$
Also bei beiden Methoden kommt hier das gleiche Ergebnis raus.
Ist das bei der Aufgabe nur Zufall gewesen dass das mit beiden Methoden ging (und ohne die e-Schreibweise) oder gibts da eine Gesetzmäßigkeit?
Ich hoffe Sie können nachvollziehen was ich meine :)
Vielen Dank
}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:41 Do 11.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du eine Funktion f differenzieren sollst und Dir fallen dazu 23 verschiedene Methoden ein, so bekommst Du 23 mal das gleiche Resultat, wenn Du Dich nicht verrechnest und wenn die 23 Methoden mathematisch korrekt sind
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Mi 10.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal vorweg: Wir duzen uns im MR üblicherweise eigentlich alle. 
> y= x^(arcot(x))
>
> das ist doch eine Verschachtelung von 2 Funktionen:
>
> u= arcot(x) u' = [mm]\bruch{-1}{x^{2}+1}[/mm]
> v= [mm]x^u[/mm] v' = ???
Das funktioniert so doch nicht. Bei Dir wäre [mm] $v=v(x,u)\,,$ [/mm] und nicht nur [mm] $v=v(u)\,.$
[/mm]
Bei
[mm] $f(x)=x^x$
[/mm]
sagst Du ja auch nicht
$f(x)=(u [mm] \circ [/mm] v)(x)$ mit [mm] $u(x)=x^v$ [/mm] und [mm] $v=v(x)=x\,.$
[/mm]
In [mm] $u(x)=x^v$ [/mm] kannst Du nicht sowohl x als auch v variabel lassen.
Deswegen schreibt man, wenn man [mm] $]0,\infty[ \ni [/mm] x [mm] \mapsto x^x$ [/mm] ableiten will, ja
[mm] $x^x=e^{x*\ln(x)}\,.$
[/mm]
In [mm] $u(x)=e^x$ [/mm] ist nur das [mm] $x\,$ [/mm] variabel. In [mm] $v(x)=x*\ln(x)$ [/mm] ebenso. Und
$(u [mm] \circ v)(x)=u(v(x))=e^{v(x)}=e^{x*\ln(x)}=(e^{\ln(x)})^x=x^x$
[/mm]
rechnet man damit nach.
D.h., Du musst es schon so machen, wie Loddar es vorgeschlagen hat, denn
das ist analog!
D.h., achte bei den Funktionen EINER Variablen immer darauf, was die
Variable ist - verwechsle nicht Parameter mit Variablen. Du musst mit
diesem Wissen dann darauf achten, was bei der Verkettung an welcher
Stelle auch wie zu ersetzen ist!
Gruß,
Marcel
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Kettenregel