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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:28 So 09.09.2007 | | Autor: | Edmond |
| Aufgabe | [mm] \alpha_{1} \wedge [/mm] ... [mm] \wedge \alpha_{k} \in Alt^k(V)
[/mm]
Was ist das? |
Hallo Zusammen!
Für den "Satz von Stokes" zum verstehen, haben wir in der Vorlesung die alternierenden Differentialformen verwendet. Jedoch kommt hier das Dachprodukt vor, welches ich nicht verstehe (siehe Aufgabenstellung). Also ich will wissen, was bei diesem Dachprodukt gemacht wird.
Ich weiss, dass die Elemente von [mm] Alt^k [/mm] Abbildungen Von [mm] V^k [/mm] nach [mm] \IR [/mm] sind, also die Elemente von [mm] Alt^k [/mm] sind alternierende Multilinearformen.
Danke für eure Hilfe!
gruss Edmond.
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Hallo!
Ich kanns dir nicht mehr mathematisch erklären, aber ich kann dir sagen, was man damit so macht:
Der Satz von Stokes verwendet im [mm] \IR^3 [/mm] ja das Kreuzprodukt
[mm] $\vektor{a_x \\ a_y \\ a_z} \times \vektor{b_x \\ b_y \\ b_z}=\vektor{a_yb_z-a_zb_y \\ a_zb_x-a_xb_z \\ a_xb_y-a_yb_x}$
[/mm]
Man kann das auch mittels Dachprodukt berechnen, wobei die [mm] e_i [/mm] sowas wie die Basisvektoren sind:
[mm] $(a_xe_1+a_ye_2+a_ze_3) \wedge (b_xe_1+b_ye_2+b_ze_3)$ [/mm]
Das läßt sich nun "ausdachen":
[mm] $a_xe_1\wedge b_xe_1 [/mm] + [mm] a_xe_1 \wedge b_ye_2 [/mm] +...$
[mm] $=a_x b_x*(e_1\wedge e_1) [/mm] + [mm] a_x b_y*(e_1 \wedge e_2) [/mm] +...$
Jetzt aufgepaßt:
1.: Ein Dachprodukt, in dem ein [mm] e_i [/mm] doppelt vorkommt, ist 0! [mm] $a_x b_x(e_1\wedge e_1)=0$
[/mm]
2.: Du mußt die [mm] e_i [/mm] in die richtige, aufsteigende Reihenfolge bringen, indem du je zwei vertauschst. Das erzeugt aber immer einen Voreichenwechsel:
[mm] $...+a_x b_y*(e_1 \wedge e_2) [/mm] + [mm] a_y b_x*(e_2 \wedge e_1)+...$
[/mm]
[mm] $=...+a_x b_y*(e_1 \wedge e_2) [/mm] - [mm] a_y b_x*(e_1 \wedge e_2)+...$
[/mm]
[mm] $=...+(a_x b_y [/mm] - [mm] a_y b_x)*(e_1 \wedge e_2)+...$
[/mm]
Wenn du das mal machst, kommen insgesamt drei solcher Terme raus. Und jetzt das interessante:
In diesem Term fehlt [mm] e_3, [/mm] und wenn du das mal mit dem Kreuzprodukt vergleichst, ist der Koeffizient grade die dritte Komponente!
Letztendlich ist das eine Erweiterung des Kreuzprodukts auf beliebige Dimensionen.
Und nochwas: Wenn du die Spaltenvektoren einer Matrix auf diese Weise "verdachst", kommt die Determinante raus - egal, welche Dimension die Matrix hat.
Ich hoffe, ich konnte dir was erklären, wenngleich das jetzt noch nicht direkt Differnzialformen sind.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:30 So 09.09.2007 | | Autor: | Edmond |
Danke für deine Hilfe!
Ich denke, ich hab es ungefähr verstanden. Danke für deine Bemühungen!
gruss Edmond
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