Alternierende Gr-semidir. Prod < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | (i) Zeigen Sie, dass die alternierende Gruppe [mm] A_4 [/mm] = [mm] D^1(S_4) [/mm] isomorph zu einem semidirekten Produkt der Form [mm] \IF_2^{\oplus 2}\times_f C_3 [/mm] mit einem Homomorphismus f: [mm] C_3 \rightarrow GL(2,\IF_2) [/mm] ist.
(ii)Sei [mm] x\in C_3 [/mm] einer der beiden Erzeuger und A=f(x) sein Bild in [mm] GL(2,\IF_2). [/mm] Zeigen Sie, dass die [mm] 2\times [/mm] 2 Matrix A Spur und Determinante Tr(A)=det(A)=1 hat und nicht trigonalisierbar ist.
(iii)Beweisen Sie, dass [mm] D^1(A_4)=\IF_2^{\oplus 2} [/mm] gilt. |
Erst einmal: [mm] D^1(G):= [/mm] [G,G]
Nun zur Aufgabe(I): Ich habe zwar schon eine Aufgabe gehabt, wo ich gezeigt habe, dass eine Gruppe semidirektes Produkt ist, aber hier will das nicht so recht. Ich muss dafür ja zeigen, dass [mm] \IF_2^{\oplus 2} [/mm] normal ist und der Schnitt mit [mm] C_3 [/mm] ={e}. Aber irgendwie scheitert es schon an [mm] \IF_2^{oplus}, [/mm] da ich mir nicht sicher bin, was genau das sein soll. Wäre es [mm] GL(2,\IF_2), [/mm] dann würde es da auch so stehen. Was genau ist das also und wie zeige ich, dass es normal ist? Dass der Schnitt e ist, bekomme ich dann ja einfach mithilfe der Ordnungen, denn die Ordnung vom Schnitt muss ja beide Gruppen teilen.
Zu dem f: muss ich da noch was zeigen? Wir haben schon einmal gezeigt, dass es sich immer um Konjugation handelt.
(ii) Leider habe ich noch überhaupt keine Idee, wie ich von dem abstrakten f auf Spur und Determinante von A kommen soll...
(iii) Das versteh ich gar nicht - widerspricht das nicht (i)?!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:34 Mi 03.05.2006 | | Autor: | madde_dong |
(i) und (ii) habe ich jetzt - so halbwegs - herausbekommen.
Aber die (iii) schaffe ich nicht: Erstmal habe ich mich verlesen, denn da steht ja [mm] D^{A_4}, [/mm] nicht [mm] D^1(S_4)...
[/mm]
Aber so richtig weiß ich trotzdem nicht, wie das gehen soll. Hat jemand eine Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Sa 06.05.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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