Ameise Straße überqueren < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Ameise befindet sich zum Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] im Abstand a von einer Straße und will diese überqueren. Sie hat dabei die Geschwindigkeit [mm] s_{A}. [/mm]
Auf der Straße rollt jedoch mit der Geschwindigkeit [mm] s_{D} [/mm] eine Dampfwalze der Breite b, die sich zum Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] im Abstand d zu der Stelle befindet, wo die Ameise die Straße im rechten Winkel überqueren würde.
[Dateianhang nicht öffentlich]
a)
Angenommen, die Ameise überquert die Straße im rechten Winkel: Mit welcher Geschwindigkeit [mm] s_{A} [/mm] müsste sie laufen, um unbeschadet auf der anderen Straßenseite anzukommen (in Abhängigkeit von a, d, b und [mm] s_{D})? [/mm]
b)
In welchem Winkel sollte die Ameise die Straße überqueren, um mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit nicht von der Dampfwalze überrollt zu werden; wobei die Ameise weder weiß, wo sich die Dampfwalze zum Zeitpunkt [mm] t_{0} [/mm] befindet, noch dessen Geschwindigkeit kennt. |
Zu a)
Die Ameise überlebt, wenn [mm] \bruch{a}{s_{A}} [/mm] > [mm] \bruch{d}{s_{D}} [/mm] oder [mm] \bruch{a+b}{s_{A}} [/mm] < [mm] \bruch{d}{s_{D}} [/mm]
Anders ausgedrückt: Sie wird von der Dampfwalze überrollt, wenn
[mm] \bruch{a*s_{D}}{d} [/mm] < [mm] s_{A} [/mm] < [mm] \bruch{a*s_{D}}{d} [/mm] + [mm] \bruch{b*s_{D}}{d}
[/mm]
Zu b)
Damit sich die Ameise so kurz wie möglich auf der Straße befindet, sollte sie diese im rechten Winkel überqueren.
Die Ameise ist jedoch in jedem Fall gerettet, wenn [mm] s_{D} [/mm] < [mm] s_{A} [/mm] * cos [mm] (\alpha). [/mm] Also sollte cos [mm] (\alpha) [/mm] möglichst groß sein; das heißt: [mm] \alpha [/mm] sollte gegen NULL GRAD tendieren.
Allerdings kann cos [mm] (\alpha) [/mm] niemals größer als EINS werden. Wenn also [mm] s_{A} [/mm] < [mm] s_{D} [/mm] ist, dann ist diese Formel witzlos.
Wie sollte die Ameise also den Eintritts-Winkel wählen
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 So 08.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Zu a) Die zweite Walze wird nicht mit berücksichtigt, da nicht benannt, ok. Ich hätte wegen dieser Unklarheit die eine Ungleichung gar nicht hingeschrieben.
Zu b) Die Frage ist, ob die Ameise ihre Überlebenschancen vergrößern kann, wenn sie ein wenig vor der Dampfwalze weg läuft. Nimm an, sie würde auf dem letzten Millimeter erfasst. Dann hätte sie mit einem leicht schrägen Kurs es doch noch geschafft. Konkreter: Sie benötigt etwas mehr Zeit zum Überqueren, aber die Dampfwalze kommt auch erst später an.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Fr 13.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Zu a) Die zweite Walze wird nicht mit berücksichtigt, da
> nicht benannt, ok. Ich hätte wegen dieser Unklarheit die
> eine Ungleichung gar nicht hingeschrieben.
In der ersten Ungleichung kommt die Ameise an der Straße, als die Dampfwalze bereits weg ist. Die Ameise kann also gar nicht mehr überfahren werden.
In der zweiten Ungleichung hat die Ameise die Straße bereits überquert, bevor die Dampfwalze ankommt. Auch in diesem Fall kann die Ameise nicht überrollt werden.
> Zu b) Die Frage ist, ob die Ameise ihre Überlebenschancen
> vergrößern kann, wenn sie ein wenig vor der Dampfwalze
> weg läuft.
"Ein wenig vor der Dampfwalze herlaufen". = Das schafft sie langfristig immer, wenn die Ameise schneller ist als der Kosinus des Winkels multipliziert mit der Geschwindigkeit der Dampfwalze. Und da ist ja das Problem: Für 90 Grad ist der Kosinus NULL, aber der Weg ist am kürzesten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Di 17.05.2011 | | Autor: | chrisno |
> > Zu a) Die zweite Walze wird nicht mit berücksichtigt, da
> > nicht benannt, ok. Ich hätte wegen dieser Unklarheit die
> > eine Ungleichung gar nicht hingeschrieben.
>
> In der ersten Ungleichung kommt die Ameise an der Straße,
> als die Dampfwalze bereits weg ist. Die Ameise kann also
> gar nicht mehr überfahren werden.
Da bin ich ja mit einverstanden, obwohl ich eine Dampfwalze, die nur auf einer Walze balanciert doch für üngewöhnlich halte
>
> In der zweiten Ungleichung hat die Ameise die Straße
> bereits überquert, bevor die Dampfwalze ankommt. Auch in
> diesem Fall kann die Ameise nicht überrollt werden.
>
> > Zu b) Die Frage ist, ob die Ameise ihre Überlebenschancen
> > vergrößern kann, wenn sie ein wenig vor der Dampfwalze
> > weg läuft.
>
> "Ein wenig vor der Dampfwalze herlaufen". = Das schafft sie
> langfristig immer, wenn die Ameise schneller ist als der
> Kosinus des Winkels multipliziert mit der Geschwindigkeit
> der Dampfwalze. Und da ist ja das Problem: Für 90 Grad ist
> der Kosinus NULL, aber der Weg ist am kürzesten.
Genau da vergisst Du den Vorsprung der Ameise. Es geht nicht darum, ob sie schneller als die Dampfwalze sein kann. Nenne den Schnittpunkt des Ameisenweg mit der Grenze zum grünen Streifen S. Berechne die Zeit, die sie benötigt, dort anzukommen. Diese Zeit hängt offensichtlich von [mm] $\alpha$ [/mm] ab. Berechne, wie viel länger sie für diesen Weg braucht, als für den bisher berechneten.
Bis die Dampfwalze diesen Punkt erreicht, braucht sie ein wenig länger. Wie viel?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:54 Di 17.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> Genau da vergisst Du den Vorsprung der Ameise. Es geht
> nicht darum, ob sie schneller als die Dampfwalze sein kann.
Also, ich denke, es verhält sich generell eher so:
Wenn die Dampfwalze schneller ist als die Ameise, dann sollte die Ameise den kürzesten Weg über die Straße nehmen (90° Winkel)
Wenn dagegen die Ameise schneller ist als die Dampfwalze, dann hätte sie die beste Überlebens-Chance, wenn der Eintrittswinkel möglichst klein ist. Der Nachteil ist dann allerdings, dass sie einen 'unendlich langen Weg' laufen muss, um über die Straße zu kommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:48 Di 17.05.2011 | | Autor: | chrisno |
Ich werde es nicht vorrechnen.
|
|
|
| |
|
> Da bin ich ja mit einverstanden, obwohl ich eine
> Dampfwalze, die nur auf einer Walze balanciert doch für
> üngewöhnlich halte
Dampf-Walzen sind heutzutage ohnehin ziemlich
ungewöhnlich, und etwas Abstraktion ist ja in der Mathe-
matik das tägliche Brot ...
Und Ameisen, die sich überlegen, wie schnell sie laufen
sollen, um eine gefährliche Straße zu überqueren, muss
man sich auch erst mal auf der Zunge zergehen lassen.
Ich liebe diese so mitten aus dem vollen Leben
gegriffenen Aufgaben von Rabilein !
 Al
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:45 Mi 18.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
@ Al-Chwarizmi: Du hast vollkommen recht. Das ist der Grund, warum Mathe-Text-Aufgaben für Schüler oftmals unverständlich sind:
- Auf der einen Seite das abstrakte mathematische Problem.
- Dann die Formulierung des Problems in deutscher Sprache. Dafür wäre eigentlich der Deutschlehrer zuständig und nicht der Mathe-Lehrer.
- Und drittens muss das (mathematische) Problem auch noch in irgend eine (eigentlich völlig unwichtige) Situation aus der Praxis integriert werden. Dafür wäre normalerweise wieder jemand ganz anderes zuständig.
Wenn nun so eine Aufgabe von nur einem einzigen Menschen ausgedacht wird, der alle drei Bereiche abdecken soll, dann ist sie für den Schüler oft unverständlich.
|
|
|
| |
|
> @ Al-Chwarizmi: Du hast vollkommen recht. Das ist der
> Grund, warum Mathe-Text-Aufgaben für Schüler oftmals
> unverständlich sind:
>
> - Auf der einen Seite das abstrakte mathematische Problem.
>
> - Dann die Formulierung des Problems in deutscher Sprache.
> Dafür wäre eigentlich der Deutschlehrer zuständig und
> nicht der Mathe-Lehrer.
>
> - Und drittens muss das (mathematische) Problem auch noch
> in irgend eine (eigentlich völlig unwichtige) Situation
> aus der Praxis integriert werden. Dafür wäre
> normalerweise wieder jemand ganz anderes zuständig.
>
> Wenn nun so eine Aufgabe von nur einem einzigen Menschen
> ausgedacht wird, der alle drei Bereiche abdecken soll, dann
> ist sie für den Schüler oft unverständlich.
Hallo rabilein,
ich hoffe vor allem, dass du das Kompliment, das ich
an dich für deine vielen originellen und oft auch spassigen
Aufgaben gerichtet habe, wirklich als solches verstanden
hast. Dass zum Zweck von Übungsaufgaben Vereinfachungen
nötig sind, ist klar. Da sind mir sogar Aufgaben, denen man
klar anmerkt, dass sie "erfunden" sind, deutlich lieber als
solche, bei denen krampfhaft so getan wird, als entstammten
sie irgendeiner Praxis, um nur den Schülern die praktische
Wichtigkeit der Mathematik unter die Nase zu reiben.
Dass für die Formulierung von Mathe-Aufgaben Deutsch-
lehrer herangezogen werden sollten, scheint mir jedoch
eine ziemlich abwegige Idee. Ich erwarte von jedem, der
sich Mathematiklehrer nennen will, ausreichende (und zwar
nicht nur knapp ausreichende) Sprachkenntnisse, um
mathematische Argumentationen, Aufgabestellungen,
Lösungswege usw. klar und korrekt auszudrücken.
Dass es durchaus sinnvolle Möglichkeiten für Kooperationen
zwischen den Fächern Mathematik und Deutsch (und
anderen Fächern) gibt, ist natürlich ebenfalls klar.
Um eigentliche Probleme aus echten und auch aktuellen
Anwendungsgebieten in den Matheunterricht einbringen
zu können, wären sicher weitere Anstrengungen in der
Lehrerbildung und in der Schaffung von geeigneten
Kontakten und z.B. Austauschseminaren wünschens-
wert. Wie oft hört man die Worte von Politikern, dass
in unseren angeblich so "rohstoffarmen" Ländern die
auszubildende Jugend die "wertvollste Ressource" sei.
Diese Leute sollte man auch dazu verpflichten, für
gute und auch für die Schule und für die Lehrkräfte
(und nicht nur für die Unternehmen) nutzbringende
Austauschprogramme zu sorgen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Do 19.05.2011 | | Autor: | rabilein1 |
> ich hoffe vor allem, dass du das Kompliment, das ich
> an dich für deine vielen originellen und oft auch
> spassigen Aufgaben gerichtet habe, wirklich als solches verstanden hast.
Ja, danke. Das war bei mir auch so angekommen.
|
|
|
| |
|
> Eine Ameise befindet sich zum Zeitpunkt [mm]t_{0}[/mm] im Abstand a
> von einer Straße und will diese überqueren. Sie hat dabei
> die Geschwindigkeit [mm]s_{A}.[/mm]
> Auf der Straße rollt jedoch mit der Geschwindigkeit [mm]s_{D}[/mm]
> eine Dampfwalze der Breite b, die sich zum Zeitpunkt [mm]t_{0}[/mm]
> im Abstand d zu der Stelle befindet, wo die Ameise die
> Straße im rechten Winkel überqueren würde.
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> a)
> Angenommen, die Ameise überquert die Straße im rechten
> Winkel: Mit welcher Geschwindigkeit [mm]s_{A}[/mm] müsste sie
> laufen, um unbeschadet auf der anderen Straßenseite
> anzukommen (in Abhängigkeit von a, d, b und [mm]s_{D})?[/mm]
>
> b)
> In welchem Winkel sollte die Ameise die Straße
> überqueren, um mit größtmöglicher Wahrscheinlichkeit
> nicht von der Dampfwalze überrollt zu werden; wobei die
> Ameise weder weiß, wo sich die Dampfwalze zum Zeitpunkt
> [mm]t_{0}[/mm] befindet, noch dessen Geschwindigkeit kennt.
> Zu a)
> Die Ameise überlebt, wenn
> [mm]\bruch{a}{s_{A}}\ >\ \bruch{d}{s_{D}}[/mm] oder [mm]\bruch{a+b}{s_{A}}\ <\ \bruch{d}{s_{D}}[/mm]
>
> Anders ausgedrückt: Sie wird von der Dampfwalze
> überrollt, wenn
>
> [mm]\bruch{a*s_{D}}{d}[/mm] < [mm]s_{A}[/mm] < [mm]\bruch{a*s_{D}}{d}\,+\,\bruch{b*s_{D}}{d}[/mm]
>
> Zu b)
> Damit sich die Ameise so kurz wie möglich auf der Straße
> befindet, sollte sie diese im rechten Winkel überqueren.
>
> Die Ameise ist jedoch in jedem Fall gerettet, wenn [mm]s_{D}[/mm] <
> [mm]s_{A}[/mm] * cos [mm](\alpha).[/mm] Also sollte cos [mm](\alpha)[/mm] möglichst
> groß sein; das heißt: [mm]\alpha[/mm] sollte gegen NULL GRAD
> tendieren.
> Allerdings kann cos [mm](\alpha)[/mm] niemals größer als EINS
> werden. Wenn also [mm]s_{A}[/mm] < [mm]s_{D}[/mm] ist, dann ist diese Formel
> witzlos.
>
> Wie sollte die Ameise also den Eintritts-Winkel wählen
Hallo,
ich habe mir die Ungleichungen für den Fall eines beliebigen
Winkels [mm] \alpha [/mm] überlegt. Dazu betrachtete ich zunächst die
Punkte P, wo die Ameise die Rollbahn der Walze betritt und
Q, wo sie diese wieder verlässt sowie die zugehörigen Zeit-
punkte [mm] t_P [/mm] und [mm] t_Q [/mm] und die x-Koordinaten [mm] x_A(t) [/mm] und [mm] x_D(t).
[/mm]
Die Ameise wird überfahren, wenn es ein [mm] t\in[\,t_P\,..\,t_Q\,] [/mm] gibt
mit [mm] x_A(t)=x_D(t). [/mm] Das führt zu der Ungleichungskette
$\ [mm] \frac{a}{s_A*sin(\alpha)}\ [/mm] <\ [mm] \frac{d}{s_D-s_A*cos(\alpha)}\ [/mm] <\ [mm] \frac{a+b}{s_A*sin(\alpha)}$
[/mm]
Bei Frage (b) ist es wohl nicht möglich, einen optimalen
Winkel [mm] \alpha [/mm] zu bestimmen, wenn über den "Fahrplan" der
Walze gar nichts bekannt ist. Um eine "Überlebenswahr-
scheinlichkeit" berechnen zu können, müsste man irgend-
welche konkreten Daten haben.
Eine einzige Angabe, nämlich die Geschwindigkeit [mm] s_D [/mm] der
Walze, würde aber genügen, um durch [mm] cos(\alpha)=\frac{s_D}{s_A}
[/mm]
jenen Winkel zu bestimmen, der der Ameise das Überleben
praktisch garantiert (außer im Fall d=0).
LG Al-Chw.
|
|
|
|
