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Forum "Exp- und Log-Funktionen" - An Kurvendiskette

An Kurvendiskette < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe

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An Kurvendiskette: x²*e hoch x

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	17:02 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

Hallo, mal wieder

ich soll eine Kurvendiscussion doschführe fähr

1. Ableiten

(x²* [mm] e^{x}) [/mm]

(2x* [mm] e^{x})` [/mm]

(2* [mm] e^{x})`` [/mm]

Definitionsbereich ist R

Nulstelle nur bei x=0 (als Resultat einer nicht konformen Überlegung)

Den Graph hab ich auch schon geplottet, gehabt ...

Ich hab keine Ahnung, was ich jetzt mit den Ableitungen anfangen soll, bzw. wie ich die nach null auflösen soll, um Extremewerte, ggf Wende- und Sattelpunkte herauszufinden.

Sicher wenn man dan die Ergebnisse hat kann man die in die ursprüngliche nicht abgeleitete Funktion einsetzten und die Funktionkswerte ermitteln, bzw. über die 2. Ableitung Art der Extrempunkten, Krümmungsverhalten... bestimmen...

Grüße

masaat

Bezug

An Kurvendiskette: Produktregel

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	17:13 Sa 29.04.2006
Autor:	Loddar

Hallo masaat!

Für die Bildung der Ableitungen musst Du hier mit der

Produktregel vorgehen:

$u \ = \ [mm] x^2$ $\Rightarrow$ [/mm] $u' \ = \ 2x$

$v \ = \ [mm] e^x$ $\Rightarrow$ [/mm] $v' \ = \ [mm] e^x$ [/mm]

Damit wird dann: $f'(x) \ = \ [mm] 2x*e^x [/mm] + [mm] x^2*e^x [/mm] \ = \ [mm] e^x*\left(2x+x^2\right)$ [/mm]

Um nun die Nullstellen bzw. Extremwerte bzw. Wendestellen zu ermitteln, wenden wir das Prinzip des Nullproduktes an:

Ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null wird.

Das heißt dann z.B. für die Nullstellen:

$f(x) \ = \ [mm] x^2*e^x [/mm] \ = \ 0$

[mm] $\Rightarrow$ $x^2 [/mm] \ = \ 0$ oder [mm] $e^x [/mm] \ = \ 0$

Und da die e-Funktion immer positiv ist, verbleibt hier als Lösung:

[mm] $x^2 [/mm] \ = \ 0$ [mm] $\gdw$ $x_N [/mm] \ = \ 0$

Wende das nun mal auf die anderen Ableitungen an ...

Gruß
Loddar

Bezug

An Kurvendiskette: weiterproduktet

Status:	(Frage) reagiert/warte auf Reaktion
Datum:	17:45 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

Hallo,

dann wäre

die 2.te Ableitung

[mm] 2*e^{x}*x²*e^{x}+2x*e^{x}*2x*e^{x}=e^{x}(6x²) [/mm]

ich weiss nicht, irgendwie habe ich mich da verhäddert, da kann doch nicht immer nur null rauskommen, wie soll man da den Graphen zeichnen können ?

Grüße

masaat

Bezug

An Kurvendiskette: Völlig durcheinander....

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	18:58 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

Hallo,

nach dem ganzen bin ich jetzt vollig durcheinander, kann den Weg nicht nachvollziehen, verstehe Bannane.

Es geht hier um die letzten Aufgaben zu einem Heft, dass ich noch gerne beenden will, bevor ich eine intensive wiederholung, des bereits durchgenommen angehen kann ....

Grüße

masaat

Bezug

An Kurvendiskette: zu den ganzen Mitteilungen

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	19:13 Sa 29.04.2006
Autor:	Disap

Seas.
> nach dem ganzen bin ich jetzt vollig durcheinander, kann
> den Weg nicht nachvollziehen, verstehe Bannane.
>
> Es geht hier um die letzten Aufgaben zu einem Heft, dass
> ich noch gerne beenden will, bevor ich eine intensive
> wiederholung, des bereits durchgenommen angehen kann ....

>
Wenn du die ganze Zeit solche für die Fragen irrelevanten Mitteilung schreibst, wird dir die Frage auch niemand schneller beantworten. Im Gegenteil, der Fragestrang wird unübersichtlich, niemand möchte das alles Lesen.
Falls dir Ergänzungen zur Frage einfallen, kannst du deine Frage ja editieren.
Du darfst natürlich so viele Mitteilungen schreiben, wie du willst. Aber aus deinem reinen Selbstinteresse kann ich dir nur empfehlen, mal etwas ruhiger zu bleiben. Ansonsten haben wir einen Fragestrang wie hier.

Nur ein gut gemeinter Rat. Oder willst du Weltmeister im Mitteilungen schreiben werden?

Grüße

Disap

Bezug

An Kurvendiskette: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:09 Sa 29.04.2006
Autor:	Disap

> Hallo,

Hallo masaat.

> dann wäre
>
> die 2.te Ableitung
>
> [mm]2*e^{x}*x²*e^{x}+2x*e^{x}*2x*e^{x}=e^{x}(6x²)[/mm]

> ich weiss nicht, irgendwie habe ich mich da verhäddert, da
> kann doch nicht immer nur null rauskommen, wie soll man da
> den Graphen zeichnen können ?

Du wendest die Produktregel nicht richtig an, die besagt

$f(x) = u*v$

$f'(x) = u'*v+v'*u$

Die Ableitung lautet laut Loddar

$ f'(x) = [mm] e^x*(2x+x^2) [/mm] $

dann ist [mm] $u=e^x$ [/mm] und $v= [mm] 2x+x^2$ [/mm]

u' = [mm] e^x [/mm]

v'=2x+2

Nun musst du nur noch einsetzen.
Schaffst du das?

>
> Grüße
>
> masaat

Grüße

Disap

Bezug

An Kurvendiskette: Wie weiter...

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	19:52 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

Hallo,

erstmal, tschuldigúng hast ja recht....

wenn ich das einsetzte

[mm] e^{x}*2x+x²+2x+2*e^{x} [/mm] =

[mm] 3*e^{x}+x(6+x) [/mm]

wie kommt man da jetzt weiter ?

Also, Wende bzw. Extremstellen zu bestimmen i.d.F ?

Grüße

masaat

Bezug

An Kurvendiskette: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:03 Sa 29.04.2006
Autor:	Disap

Servus.
>
> erstmal, tschuldigúng hast ja recht....

Du musst dich dafür nicht entschuldigen. Es ist ja deine Sache.

> wenn ich das einsetzte
>
> [mm]e^{x}*2x+x²+2x+2*e^{x}[/mm] =

Du denkst da zu kompliziert

Wie in der Antwort vorher zu sehen ist:

$ [mm] u=(e^x) [/mm] $

$v= [mm] \red{(2x+x^2)} [/mm] $

$u' = [mm] \green{(e^x)} [/mm] $

[mm] $v'=\blue{(2x+2)}$ [/mm]

Du darfst da ruhig immer Klammern setzen. Wenns dir beim Überblicken hilft.

Und die Regel fürs Ableiten lautete

$ f'(x) = [mm] \green{u'}\cdot{}\red{v}+\blue{v'}\cdot{}u [/mm] $

$f'(x) [mm] =\green{(e^x)}* \red{(2x+x^2)}+\blue{(2x+2)}*(e^x)$ [/mm]

Da wir vor beiden Klammern, blau und rot, den selben Faktor haben, nämlich [mm] e^x, [/mm] können wir dsa ganze in eine Klammer schreiben

$f'(x) [mm] =\green{(e^x)}* \red{(2x+x^2+2x+2)}$ [/mm] //zusammenfassen

$f'(x) [mm] =\green{(e^x)}* \red{(x^2+4x+2)}$ [/mm]

> [mm]3*e^{x}+x(6+x)[/mm]
>
>
> wie kommt man da jetzt weiter ?
>
> Also, Wende bzw. Extremstellen zu bestimmen i.d.F ?

Meine erste Ableitung ist wohl die zweite der Aufgabe. Dann musst du halt f'' statt f' schreiben ;-)

.

Gleich null setzen, es gilt der Satz vom Nullprodukt, den Loddar wieder einmal 1a aufgesagt hat!

>
>
> Grüße
>
> masaat

Kommst du nun weiter?

LG,
Disap

Bezug

An Kurvendiskette: zusammenfassend

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	20:24 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

Hallo,

also

Ableitung 1 und 2 haben die Zahl Null als Nullstelle, dh. es liegt bei 0 ein Sattelpunkt vor.

bei der ersten Ableitung bleibt dann noch das

(x²+2x) ?muss man daraus noch andere Nullstellen ermitteln, etwa über P/q Formel oder wie geht ?

2.Ableitung bleibt noch das

x²+4x+2 (ganz klar über P/q lösen)

Ich hab einfach schon zu viel vergessen....

Grüße

masaat

Bezug

An Kurvendiskette: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	20:34 Sa 29.04.2006
Autor:	Disap

Moin moin.

> also

zusammenfassend:

$f(x) = [mm] x^2*e^x$ [/mm]

Produktregel

$f'(x) = [mm] e^x\cdot{}\left(2x+x^2\right) [/mm] $

$f''(x) = [mm] e^x\cdot{} (x^2+4x+2) [/mm] $

Satz vom Nullprodukt: ein Produkt ist genau dann gleich Null, wenn (mindestens) einer der Faktoren gleich Null wird.

>
> Ableitung 1 und 2 haben die Zahl Null als Nullstelle, dh.
> es liegt bei 0 ein Sattelpunkt vor.

Nein, wie kommst du darauf?

$f'(x) = [mm] e^x\cdot{}\left(2x+x^2\right) [/mm] = 0$

[mm] $e^x [/mm] = 0  [mm] \vee 2x+x^2 [/mm] =0$

[mm] e^x [/mm] ist niemals null, also müssen wir nur [mm] 2x+x^2 [/mm] = 0 betrachten

[mm] $0=2x+x^2$ [/mm] //PQ-Formel

[mm] $x_{E1,2}=-1\pm\wurzel{1} [/mm] $

[mm] $X_{E1}= [/mm] 0$

[mm] $X_{E2}= [/mm] -2$

Die zweite Ableitung ist an der Stelle x = 0 nicht null, daher liegt dort kein Sattelpunkt (oder Wendepunkt) vor.

>
> bei der  ersten Ableitung bleibt dann noch das
>
>
> (x²+2x) ?muss man daraus noch andere Nullstellen ermitteln,
> etwa über P/q Formel oder wie geht ?

Ja, so gehts. Oder die quadratische Ergänzung bleibt dir auch noch. Aber das mit dem x=0 hast du ja schon gut erkannt.

>
> 2.Ableitung bleibt noch das
>
> x²+4x+2 (ganz klar über P/q lösen)
>
> Ich hab einfach schon zu viel vergessen....
>

Dann lies es hier noch einmal nach:

PQFormel. Evtl. hilft dir meine Rechnung von oben auch noch. Aber der Ansatz ist gut!

> Grüße
>
> masaat

MfG!
Disap

Bezug

An Kurvendiskette: Ich weiss,trotzd. Danke u.

Status:	(Mitteilung) Reaktion unnötig
Datum:	20:55 Sa 29.04.2006
Autor:	masaat234

ich mache für heute schluss und hoffe das die letzten Aufgaben des Heftes kein Ausdauersport mehr werden wird.

Grüßmatik

masaat

Bezug

Ansicht:

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