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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Sa 09.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
| Aufgabe | Sei
[mm] A=\pmat{ 3 & -1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0& 0 & -2 } [/mm] , b= [mm] \vektor{2*\wurzel(2) \\ 2*\wurzel(2) \\ 2}, [/mm] c= 3/2
Von welchem Flächentyp ist die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung
<Ax, x> + <b, x> + c = 0? |
Hallo liebe Helfer,
ich habe etwas schwierigkeiten mit diesen Aufgaben.
Diese hängen in erster Hinsicht mit der Basis aus den Eigenvektoren zusammen.
Zunächst mein Vorgehen:
1. EW bestimmen: 2, -2, 4
2. EV bestimmen, normieren: [mm] \bruch{1}{\wurzel(2)} \vektor{1 \\ 1\\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}, \bruch {1}{\wurzel(2)} \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
soweit sollte es stimmen.
Nun muss ich mir die Basis aus den EV bauen
Dazu meine Fragen:
1. Ist die Reihenfolge, in der ich die EV in die Matrix setze egal?
2. Ist die Matrix automatisch orthonormiert?
Vielen Dank an alle, die helfen möchten :)
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du hast eine symmetrische Matrix. Da gibt es einen Satz, der besagt, dass dann die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten, die du ja hier vorliegen hast, immer orthogonal sind. Das kannst du ja auch testen, indem du mit jeden Eigenvektor mit jedem anderen ins Skalarprodukt nimmst. Dann sollte überall 0 rauskommen.
Die Reihenfolge der Eigenvektoren in deiner Trafo-Matrix ist egal. Der Unterschied liegt nur darin, dass dann deine Diagonalmatrix die Eigenwerte dann auch "anders" hat.
Wählst du deine EV in der Matrix so, wie du sie hier stehen hast, dann bekommst du die Diagonaleinträge
2,-2,4 (ich nehme an, dass der erste EV, den du angegben hast, zum EW 2 gehört usw).
Nimmst du aber den zweiten EV in die erste Spalte deiner Trafo-Matrix, den ersten EV in die zweite Spalte und den dritten in die dritte Spalte, dann steht da hinterher in der Diagonalmatrix:
-2,2,4
Ich hoffe, du verstehst damit, was ich meine =)
PS: Welche Matrix meinst du jezt, welche Orthonomiert sein soll? Die Trafo Matrix ja, s.h. oben. In der Diagonalmatrix stehen die Spalten natürlich auch senkrecht aufeinander. Sind aber nicht auf 1 normiert, sondern beinhalten ja die Eigenwerte.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:55 Sa 09.08.2008 | | Autor: | SLik1 |
Ich meinte die Trafo Matrix, ja
Bei nicht symmetrischen Ausgangsmatritzen ist diese also nicht automatisch orthonormiert wenn ich das richtig verstanden habe. ok :)
Das war meine Frage^^
..Weil es bei meinen jetzigen aufgaben immer der Fall war, was mich etwas gewundert hat.
Danke für die schnelle Antwort!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
bei nicht symmetrischen Matrizen sind die EV meist nicht orthogonal.
Bei den Quadriken kann man das aber immer so hinbiegen, dass deine darstellende Matrix symmetrisch ist, deshalb ist die Trafo dort immer "einfach(er)".
LG
Kroni
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