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Analysis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:19 Mi 20.01.2021
Autor: Mathemurmel

Aufgabe
Gegeben ist die Funktion h mit

y = h(x) = sin(x) [mm] \* [/mm] e^cos(x)              x ∊ [0;2π]

a) Untersuchen Sie die Funktion h auf Nullstellen! Ermitteln Sie die lokalen Extrema von h sowie deren Art!

a) Ich habe Probleme bei der notwendigen Bedingung für Extrema:

h'(x) = e^cos(x) * (cos(x) - [mm] (sin(x))^2) [/mm]

Notwendige Bedingung:  h'(x) = 0

e^cos(x) * (cos(x) - [mm] (sin(x))^2) [/mm] = 0       | Nullproduktregel

e^cos(x) ungleich null für alle x

cos(x) - [mm] (sin(x))^2 [/mm] = 0    (1)

da weiß ich nicht weiter, wie ich das rechnen soll.

Ich kann noch anwenden:

1 = [mm] (sin(x))^2 [/mm] + [mm] (cos(x))^2 [/mm]        => ich ersetze (1) durch:

0 = cos(x)  - 1 + [mm] (cos(x))^2 [/mm]

aber das hilft mir auch nicht weiter.



        
Bezug
Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:23 Mi 20.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 0 = cos(x)  - 1 + [mm](cos(x))^2[/mm]

[ok]

> aber das hilft mir auch nicht weiter.

Nicht?
Also ich erkenne da doch stark eine quadratische Gleichung in [mm] $\cos(x)$. [/mm]
Substituiere also [mm] $z=\cos(x)$, [/mm] löse die quadratische Gleichung und resubstituiere.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Analysis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:02 Do 21.01.2021
Autor: Mathemurmel

0 = [mm] (cos(x))^2 [/mm] + cos(x) - 1   Subst.:  z = cos(x)
0 = [mm] z^2 [/mm] + z - 1
TR liefert:  z1 = 0,6180339887      z2= -1,618033989

cos(x1) = z1 = 0,6180339887  | cos^-1          
x1 = 0,9045568944

cos(x2) = z2 = -1,618033989  | cos^-1
nicht lösbar

Im Graphen sehe ich aber, dass es ein Maximum bei ca. 0,9 gibt und ein Minimum bei ca. 5,4.
Wo kriege ich das Minimum her?


Bezug
                        
Bezug
Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:38 Do 21.01.2021
Autor: statler

Guten Morgen!

> 0 = [mm](cos(x))^2[/mm] + cos(x) - 1   Subst.:  z = cos(x)
>  0 = [mm]z^2[/mm] + z - 1
>  TR liefert:  z1 = 0,6180339887      z2= -1,618033989
>  
> cos(x1) = z1 = 0,6180339887  | cos^-1          
> x1 = 0,9045568944

Dein TR ist nicht so schlau, er weiß nicht, daß in [0, [mm] 2$\pi$] [/mm] dann auch [mm] 2$\pi$ [/mm] - x1 den gleichen cos-Wert hat. Zumindest sagt er es dir nicht.

> cos(x2) = z2 = -1,618033989  | cos^-1
>  nicht lösbar
>  
> Im Graphen sehe ich aber, dass es ein Maximum bei ca. 0,9
> gibt und ein Minimum bei ca. 5,4.
>  Wo kriege ich das Minimum her?

s. o.

Gruß Dieter

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