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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Mi 29.03.2006 | | Autor: | LaBouche |
| Aufgabe | Ein Anfangskapital K0 wird mit einem jährlichen Zinssatz von 3 % verzinst. Nach wie vielen Jahren
hat sich das Kapital (mit Zinseszins gerechnet) verdoppelt? |
Hallöchen,
ich habe ein Problem, dass ich die angegebene Aufgabenstellung gar nicht verstehe. Wie errechnet man denn aus K0 (die Null steht am unteren rechten Rand des K`s) nun Zinsen?
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Zu dem Geldbetrag von [mm] $K_0$ [/mm] kommen im ersten Jahr $3%$ Zinsen dazu.
Also ist [mm] $K_1 [/mm] = [mm] K_0 [/mm] + 0.03 [mm] \cdot K_0 [/mm] = [mm] K_0 \cdot [/mm] (1 + 0.03) = [mm] K_0 \cdot [/mm] 1.03$
Ich hoffe, dass ich dein grundlegendes Verständnisproblem lösen konnte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Sa 01.04.2006 | | Autor: | LaBouche |
Danke für deine Bemühung, aber leider hat mir das jetzt nicht so richtig weiter geholfen....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Sa 01.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo LaBouche!
Die Zinsezins-Formel lautet: $K(n) \ = \ [mm] K_0*q^n [/mm] \ = \ [mm] K_0*\left(1+\bruch{p \ \%}{100}\right)^n$
[/mm]
In Deinem Falle gilt: $p \ = \ 3.0$ sowie $K(n) \ = \ [mm] 2*K_0$ [/mm] (da sich das Anfangskapital [mm] $K_0$ [/mm] verdoppeln soll).
Damit wird: [mm] $2*K_0 [/mm] \ = \ [mm] K_0 [/mm] * [mm] \left(1+\bruch{3}{100}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] K_0*1.03^n$
[/mm]
Kannst Du diese Gleichung nun nach $n \ = \ ...$ auflösen? Dafür zunächst durch [mm] $K_0$ [/mm] dividieren und anschließend einen Logarithmus anwenden.
Gruß
Loddar
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Hallo LaBouche!!
... und einen schönen Tag!!!
Loddar hat es wirklich schon echt toll erklärt!
... jetzt mal mit Lösung![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") :
Es gilt auf jeden Fall folgendes:
[mm]K_n=K_0*(1+\left( \bruch{p}{100} \right))^n[/mm]
Ersetzen von[mm]K_n[/mm] durch [mm]m*K_0[/mm].
[mm]m*K_0=K_0*(1+\left( \bruch{p}{100} \right)^n)[/mm]
Durch[mm]K_0[/mm] dividieren.
[mm]m=1+\left( \bruch{p}{100} \right)^n[/mm]
Definition des Logarthmus verweden, am besten den dekadischen Logarithmus.
[mm]lg(m)=lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right)^n)[/mm]
Durch ein Logarithmusgesetz vereinfachen.
[mm]lg(m)=n*lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right))[/mm]
Durch [mm]lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right))[/mm] dividieren.
[mm]\left \bruch{lg(m)}{lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right))} \right=n[/mm]
[mm]n=\left \bruch{lg(m)}{lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right))} \right[/mm]
Ergebnis:
Liegt Zinseszins zugrunde, so hat sich ein Kapital [mm]K_0[/mm] mit dem Faktor [mm]m[/mm] nach
[mm]n=\left \bruch{lg(m)}{lg(1+\left( \bruch{p}{100} \right))} \right[/mm]
Jahren vervielfacht.
Berechnungsbeispiel zum Ergebnis:
[mm]n=\left \bruch{lg(2)}{lg(1+\left( \bruch{3}{100} \right))} \right[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm]n\approx23,44977225[/mm]
A: Das Kapital (Ausgangskapital!) hat sich nach ca. [mm]23,5[/mm] Jahren bei einen Zinssatz von [mm]3[/mm] Prozent verdoppelt. Dabei sind die Zinsen am Ende des Jahres auf dem Konto verblieben und wurden im nächsten Jahr entsprechend mitverzinst.
Alternative Lösung: Ein konkretes Kapital aussuchen und dann duch ausprobieren die richtige Jahresanzahl bestimmen!
Ich hoffe, ich konnte dir helfen!
Mit fruendlichen Grüßen
Goldener Schnitt
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Hallo LaBouche!
Obwohl der Rechenweg schon gut beschrieben wurde, möchte ich dir noch einmal den konkreten Rechenweg für deine Aufgabe zeigen:
Es sei [mm]K_{0}[/mm] das Anfangskapital, [mm]p=[/mm]3% p.a., [mm]n=?[/mm] Jahre und [mm]K_{E}[/mm] das Endkapital. Da [mm]K_{E}[/mm] nun doppelt so groß wie [mm]K_{0}[/mm] sein soll, gilt:
[mm]K_{E}=2*K_{0}[/mm]
Das Endkapital ist
[mm]K_{E}=K_{0}*(1+{p\over{100}})^n[/mm]
und wenn man die Werte einsetzt, kommt man auf
[mm]2*K_{0}=K_{0}*1{,}03^n[/mm] |:[mm]K_{0}[/mm]
[mm]2=1{,}03^n[/mm]
[mm]n={{lg2}\over{lg1{,}03}}\approx 23{,}45[/mm]
Antwort: Nach knapp 23 Jahren 5 Monate und 12 Tagen hat sich ein Kapital bei einem Zinssatz von 3 % p.a. inkl. Zinseszinsen verdoppelt.
Verstanden?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 So 02.04.2006 | | Autor: | LaBouche |
Vielen lieben DANK für eure ausführlichen Erklärungen!! DANKE !!!
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