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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 So 29.05.2011 | | Autor: | MirjamKS |
| Aufgabe | Ein Wissenschaftler hat im Rahmen einer Forschungsarbeit das
Wachstum einer Bakterienkultur in einem Gefäß beobachtet. Alle
zwei Stunden wurde von ihm die Größe der von den Bakterien bedeckten
Fläche gemessen.
Seine Messwerte sind in einem Koordinatensystem dargestellt.
Der Wissenschaftler modelliert die Messreihe durch die folgende Funktion:
A (t) = [mm] −0,005t^3 +0,2t^2 [/mm] + 0,9t + 1
A(t) : Fläche (Einheit: cm2)
t: Zeit seit dem Beobachtungsbeginn um 8.00 Uhr (Einheit: h)
a.)
Wann ist die Wachstumsgeschwindigkeit genauso groß wie zu Beginn der Beobachtung? |
Nun da wurde mir diese Ergebnisse mitgeteilt.
Gesucht ist die Zeit t , für die gilt: A'(t) = A'(0) .
Wegen A'(t) = [mm] −0,015t^2 [/mm] + 0,4t + 0,9 und A'(0) = 0,9 folgt:
-0,015 [mm] t^2 [/mm] + 0,4t +0,9 = 0,9 ... t= 26 2/3
Nach 26 Stunden und 40 Minuten, d.h. um 10:40 Uhr, entspricht die Wachstumsgeschwindigkeit im Modell wieder der Anfangsgeschwindigkeit von 8 Uhr.
Nun verstehe ich nicht wie man auf diesen Lösungsweg kommt und warum das so ausgerechnet wird.
Grüße Miri
Ich hab diese Frage in keinem Forum auf einer anderen Internetseite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 So 29.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Miri,
das hängt damit zusammen,wie die eigentliche Größe definiert ist. In Deinem Fall ist es die Anzahl von Bakterien zu einem bestimmten Zeitpunkt. Die Änderung dieser Anzahl als Funktion der Zeit, das bezeichnet man als Wachstumsgescheindigkeit, - die auch negativ werden kann -, und diese Änderung ist nichts weiter als die Ableitung der Bakterienanzahl A(t) nach dem zeitlichen Parameter t.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 So 29.05.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Vielen Dank schon mal für die Antwort. :) Hab es so weit verstanden. Nur ich verstehe jetzt nicht wie man auf das Ergebnis 26 2/3 kommt, bzw warum dabei die beiden Extrempunkte voneinander abgezogen werden müssen, weil man ja nur so auf das Ergebnis kommt.
Liebe Grüße
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Hallo,
du hast die Funktionsgleichung mit unterschiedlichen Vorzeichen benutzt und außerdem ist es unklar, wie du jetzt den Tipp von Infinit interpretiert bzw. umgesetzt hast. Es wäre daher gut, wenn du nochmal bestätigen könntest, dass die Vorzeichen der Koeffizienten der Modellfunktion alle positiv sind und auf welche Gleichung sich deine Rechnung stützt.
Ich habe es mit positiven Koeefizienten und mit dem Hinweis von Infinit, dass auch solche Zeitpunkte gültig sind, an denen die Wachstumsgeschwindigkeit zwar betragsmäßig gleich, aber eben negativ ist, versucht. Dabei bekomme ich nicht das von dir angegebene Resultat.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:22 So 29.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Diophant,
hieran sieht man, dass die deutsche Sprache mitunter durchaus interpretationsbedürftig ist, zumindest für einen Mathematiker oder Wissenschaftler. Ich habe jedoch die sehr starke Vermutung, dass hier nur vorzeichengleiche Änderungsgeschwindigkeiten gemeint waren.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:30 So 29.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo Infinit,
ok, macht eigentlich auch sonst keinen Sinn. Aber denkst du dann auch, dass in der angegebenen Modellfunktion ein Vorzeichenfehler steckt?
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 So 29.05.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Diophant,
ja, ein Vorzeichenfehler ist drin. Die Ableitung ist noch okay, dann taucht aber ein negatives Vorzeichen vor dem quadratischen Term auf, und das ist, zumindest für mich, nicht nachvollziehbar.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 So 29.05.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Oh entschuldige, aalso ich habe einen Fehler beim Originalgraphen in der Aufgabe gemacht, ganz vorne muss noch ein - hin, also ist die ableitung richtig.
Meine Frage ist, wie man darauf kommt, dass man die beiden Lösungen der ableitung voneinander abziehen muss. Also die beiden Lösungen sind ja 28,75 und ca. - 2,09. wenn man die voneinander abzieht ergibt das ja 26 2/3 also das ergebnis. Aber wie kommt man auf diese Rechnung?
Gruß Miri
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Hallo,
wo hast du diese Rechnung her? Jetzt (mit dem korrigierten Vorzeichen) führt die Gleichung
A'(t)=0,9
auf direktem Weg zu den Lösungen [mm] t_1=0 [/mm] und [mm] t_2=\frac{80}{3}=26 \frac{2}{3}.
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 29.05.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Die gesamte Rechnung? Also das ist ne Aufgabe aus der Vergleichsarbeit von 2006 und von der Schule aus haben wir halt das Blatt mit den Aufgaben bekommen und ich hab auf der offiziellen Seite nach den Lösungen gesucht, weil ich mir nicht sicher war.
Wie kommt man denn darauf das A'(t) = 0,9 -> $ [mm] t_1=0 [/mm] $ und $ [mm] t_2=\frac{80}{3}=26 \frac{2}{3}. [/mm] $ ergibt?
Gruß Miri
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Hallo,
A'(t)=0,9 <=>
[mm] -0,015t^2+0,4t+0,9=0,9 [/mm] <=>
[mm] -0,015t^2+0,4t=0 [/mm] <=>
t*(-0,015t+0,4)=0
und jetzt den Satz vom Nullprodukt anwenden. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 So 29.05.2011 | | Autor: | MirjamKS |
Achsoo einfach gleichgesetzt? Daaanke :))
Gruß Miri
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