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Analysis: Ermitteln von Extremwerten...
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Di 14.02.2012
Autor: GrueneFee

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f mit f(x) = [mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3 [/mm]
a) Bestimmen Sie die Nullstellen, die Lage und Art der Extremwerte sowie die Lage der Wendepunkte der Funktion f

b) Stellen Sie die Funktion f grafisch dar.

Hallo zusammen.

Habe das mal alles ausgerechnet und wäre sehr sehr dankbar wenn sich das mal jemand durchschauen könnte ob da was falsch ist:)

Nullstellen:
[mm] 3x^4-12x^3+12x^2-3=0 [/mm]       |:3
[mm] x^4-4x^3+4x^2-1 [/mm]      =0       |x^2ausklammern
[mm] x^2(x^2-4x+3) [/mm]           =0       |pq Formel anwenden

Daraus folgt 1.Nullstelle = 0(wegen dem ausklammern von x), 2. Nullstelle = 1, 3.Nullstelle = 3.

Lage der Extremstellen:

f'= [mm] 12x^3-36x^2+24x [/mm]
f'= [mm] 12x^3-36x^2+24x [/mm] = 0     |:12
f'= [mm] x^3-3x^2+2x [/mm]         = 0     |x ausklammern
f'= [mm] x(x^2-3x+2) [/mm]                     |pq Formel anwenden

1.Extremstelle = 0, 2. Stelle = 1, 3.Stelle = 2


Art der Extremwerte:

f''= [mm] 36x^2-72x+24 [/mm]
f''(0) = 24
f''(2) = 24, also Minimum
f''(1) = -12, also Maximum


Bei der Lage der Wendepunkte komme ich nicht ganz weiter. Ich habe mal so angefangen:

[mm] 36x^2-72x+24 [/mm] = 0       |:36
[mm] x^2-2x+0,6 [/mm]      = 0

??


Bitte um Hilfe!
Dankeschööön! :)

        
Bezug
Analysis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:13 Di 14.02.2012
Autor: Diophant

Hallo,

> Nullstellen:
> [mm]3x^4-12x^3+12x^2-3=0[/mm] |:3
> [mm]x^4-4x^3+4x^2-1[/mm] =0 |x^2ausklammern
> [mm]x^2(x^2-4x+3)[/mm] =0 |pq Formel anwenden

Das ist leider ganz falsch. Genauer gesagt: der letzte Schritt ist falsch. Wenn du [mm] x^2 [/mm] ausklammerst und machst es richtig, dann entsteht ein echt gebrochen-rationaler Summand in der Klammer. Dann ist auch nix mehr mit dem Satz vom Nullprodukt. :-)

Man kann hier duch 'scharfes Hinsehen' die Doppellösung

[mm] x_{1,2}=1 [/mm]

ablesen, diese per Polynomdivision abspalten und auf das resultierende quadratische Polynom die pq-Formel anwenden.

> Lage der Extremstellen:
>
> f'= [mm]12x^3-36x^2+24x[/mm]
> f'= [mm]12x^3-36x^2+24x[/mm] = 0 |:12
> f'= [mm]x^3-3x^2+2x[/mm] = 0 |x ausklammern
> f'= [mm]x(x^2-3x+2)[/mm] |pq Formel anwenden
>
> 1.Extremstelle = 0, 2. Stelle = 1, 3.Stelle = 2

Das ist richtig.

> Art der Extremwerte:
>
> f''= [mm]36x^2-72x+24[/mm]
> f''(0) = 24
> f''(2) = 24, also Minimum
> f''(1) = -12, also Maximum

Auch das ist richtig. Du musst aber im Rahmen einer Kurvendiskussion unbedingt die zugehörigen Funktionswerte mit angeben!

> Bei der Lage der Wendepunkte komme ich nicht ganz weiter.
> Ich habe mal so angefangen:
>
> [mm]36x^2-72x+24[/mm] = 0 |:36
> [mm]x^2-2x+0,6[/mm] = 0

Wenn schon dividieren, dann richtig. Du hast hier einfach einen Koeffizienten gerundet, das ist ja klar, dass dann nichts vernünftiges mehr herauskommt.

Ich würde durch 12 teilen:

[mm] 3x^2-6x+2=0 [/mm]

und jetzt die pq-Formel anwenden.

Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Analysis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:18 Di 14.02.2012
Autor: GrueneFee

Danke für die schnelle Hilfe!

Das ich bei dem Ausklammern von [mm] x^2 [/mm] irgendwie was falsch mache, dachte ich mir schon ;)
Aber gut, werde dann die Polynomdivision anwenden und mit der pq Formel ausrechnen.

Sonst ist jetzt alles klar für mich, danke!

Gruß,
Die Gruene_Fee

Bezug
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