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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:06 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, hab hier eine aufgabe vor mir, wo ich nichtmal auf den ansatz komme.
Muss ich hier auch mit dem Induktionsanfang anfangen? Aber wie?
Aufgabe lautet:
Es sei [mm] x_{0} [/mm] := 0 und [mm] x_{1} [/mm] := 1. Für n [mm] \ge [/mm] 1 werde rekursiv definiert
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] 4x_{n} [/mm] − [mm] 3x_{n-1}.
[/mm]
Zeigen Sie bitte, dass für alle n [mm] \in [/mm] N [mm] x_{n} [/mm] = ( [mm] 3^{n} [/mm] − 1)/2 ist.
Danke schonmal im vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:16 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo denwag!
> Muss ich hier auch mit dem Induktionsanfang anfangen?
Bei einer Aufgabe, die Du per vollständiger Induktion löst, musst du immer mit dem Induktionsanfang beginnen. Das ist ja die entscheidende Verankerung, sozusagen die Basis!
> Es sei [mm]x_{0}[/mm] := 0 und [mm]x_{1}[/mm] := 1. Für n [mm]\ge[/mm] 1 werde
> rekursiv definiert
>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]4x_{n}[/mm] − [mm]3x_{n-1}.[/mm]
>
> Zeigen Sie bitte, dass für alle n [mm]\in[/mm] N [mm]x_{n}[/mm] = ( [mm]3^{n}[/mm] − 1)/2 ist.
Da diese explizite Formel für alle $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] gelten soll, kannst Du auch bei $n \ = \ 1$ starten.
In diesem Falle kannst auch bei $n \ = \ [mm] \red{0}$ [/mm] starten, da die rekursive Darstellung auch mit [mm] $x_{\red{0}} [/mm] \ = \ 0$ startet.
Kommst Du nun alleine weiter?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
Hi, ich nochmal,
wenn ich jetzt den Induktionsanfang n=1 wähle, muss ich n=1 in die obere und untere Gleichung eisetzen oder?
Habe ich jedenfalls gemacht und für die obere Gleichung hab ich folgendes erhalten:
[mm] x_{2} [/mm] = 4
und für die untere:
[mm] x_{1} [/mm] = 1
somit schließe dich darauf, dass beide aussagen nicht wahr sind. oder verstehe ich dass falsch?
bitte nochmals um hilfe. vielen dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo denwag!
> wenn ich jetzt den Induktionsanfang n=1 wähle, muss ich n=1
> in die obere und untere Gleichung eisetzen oder?
Jein! Bei der rekursiven Darstellung muss es nicht unbedingt die Gleichung sein. Es können ja auch die beiden (willkürlich) festgelegten [mm] $x_0$ [/mm] oder [mm] $x_1$ [/mm] herangezogen werden (siehe unten).
> Habe ich jedenfalls gemacht und für die obere Gleichung hab
> ich folgendes erhalten: [mm]x_{2}[/mm] = 4
> und für die untere: [mm]x_{1}[/mm] = 1
Aber hier vergleichst Du doch gerade Äpfel mit Birnen, da Du ja [mm] $x_{\red{1}}$ [/mm] und [mm] $x_{\red{2}}$ [/mm] gegenüberstellst und vergleichst.
Setzen wir doch mal $n \ = \ 1$ ein: [mm] $x_1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^1 - 1}{2} [/mm] \ = \ 1$
Und das stimmt doch mit der obigen Festlegung [mm] $x_1 [/mm] \ := \ 1$ überein!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
und wie kann ich dass am besten für alle n [mm] \in \IN [/mm] aufschreiben?
ich kann das irgendwie nicht aufschreiben für alle n [mm] \in \IN [/mm] !!
Sorry, aber das fällt mir wirklich schwer.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo denwag!
Meinst Du jetzt den Induktionsschritt?
Da musst Du für $n+1_$ zeigen: [mm] $x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{3^{n+1}-1}{2}$
[/mm]
Beginnen wir mit der rekursiven Formel:
[mm] $x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 4*x_n [/mm] - [mm] 3*x_{n-1} [/mm] \ = \ [mm] 4*\underbrace{\bruch{3^{n}-1}{2}}_{= \ x_n \ nach \ Induktionsvoraussetzung} [/mm] - \ [mm] 3*\underbrace{\bruch{3^{n-1}-1}{2}}_{= \ x_{n-1} \ nach \ Induktionsvoraussetzung}$
[/mm]
[mm] $x_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] 4*\bruch{3^{n}-1}{2} [/mm] - [mm] 3*\bruch{3^{n-1}-1}{2} [/mm] \ = \ ...$
Und diese Gleichung musst Du nun so umformen / zusammenfassen, dass Du die oben genannte Formel erhältst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:48 Sa 22.10.2005 | | Autor: | denwag |
hi, nocmal,
ich hab die ganze zeit probiert die gleichung so umzuformen, dass ich auf das obige komme, schaffe es aber nicht.
meine letzte zeile lautet:
( [mm] 24^{n} [/mm] - 1 - ( [mm] 18^{n} [/mm] - 1) / 2.
komme leider nicht weiter oder hab ich einen fehler bis dahin?
danke für dein verständnis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 So 23.10.2005 | | Autor: | denwag |
Hi, ich komme an einer stelle nicht weiter, stehe kurz davor die aufgabe abzuschließen, aber das ende macht mir ein wenig probleme.
Wäre nett wenn man mir helfen könnte.
und zwar:
aus
[mm] x_{n+1} [/mm] = 4 * ( [mm] 3^{n} [/mm] - 1 ) / 2 - 3 * ( [mm] 3^{n-1} [/mm] - 1 ) / 2
soll ich auf
( [mm] 3^{n+1} [/mm] - 1 ) / 2
kommen.
komm bloß nicht drauf.
danke schon mal im vorraus.
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>
> [mm]x_{n+1}[/mm] = 4 * ( [mm]3^{n}[/mm] - 1 ) / 2 - 3 * ( [mm]3^{n-1}[/mm] - 1 ) / 2
>
> soll ich auf
>
> ( [mm]3^{n+1}[/mm] - 1 ) / 2
Hallo,
schreib Dir's auf einen großen Bruchstrich und löse die Klammern auf.
Wenn Du dann noch beachtest, daß z.B. [mm] 5a^n-a^n=4a^n [/mm] ist, und daß [mm] a*a^n=a^{n+1}, [/mm] wirst Du kein Problem mehr haben.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 23.10.2005 | | Autor: | denwag |
könnten sie das vielleicht noch kontrullieren?
4 * ( [mm] 3^{n} [/mm] - 1 ) - 3 * ( [mm] 3^{n-1} [/mm] - 1 ) / 2
= ( [mm] 12^{n+1} [/mm] - 4 - [mm] 9^{n+1} [/mm] + 3 / 2
= [mm] 3^{n+1} [/mm] - 1 / 2
danke nochmals.
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> könnten sie das vielleicht noch kontrullieren?
>
> 4 * ( [mm]3^{n}[/mm] - 1 ) - 3 * ( [mm]3^{n-1}[/mm] - 1 ) / 2
>
> = ( [mm]12^{n+1}[/mm] - 4 - [mm]9^{n+1}[/mm] + 3 / 2
>
> = [mm]3^{n+1}[/mm] - 1 / 2
>
> danke nochmals.
Oh weh, oh weh! Laut Deiner Rechnung ist [mm] 4*3^n=12^n.
[/mm]
Für n=2 bedeutet das [mm] 4*3^2=4*3*3= [/mm] 12*12 ...
Kühlen Kopf bewahren und nochmal. Hmm. Vielleicht habe ich Dich mit meinen tollen Tips verwirrt.
Paß mal auf: [mm] 2(3^5-1)=2*3^5-2, [/mm] was Du im "Normalfall" sicher weißt.
Gruß von Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 23.10.2005 | | Autor: | loki36 |
> könnten sie das vielleicht noch kontrullieren?
>
> 4 * ( [mm]3^{n}[/mm] - 1 ) - 3 * ( [mm]3^{n-1}[/mm] - 1 ) / 2
hi
hatte mit der gleichen aufgabe probleme...
die lösung ist aber recht einfach du hast sie im enteffekt schon siehst aber wahrscheinlich im moment den wald vor lauter bäumen nicht ;)
löse einfach mal die klammern auf :
( (4* [mm] 3^n [/mm] -4) - (3* [mm] 3^{n-1} [/mm] -3))/2
= ( 4* [mm] 3^n [/mm] -4 -3* [mm] 3^{n-1} [/mm] +3 ) /2
= (4* [mm] 3^n [/mm] -4 - [mm] 3^n [/mm] +3 ) /2
jetze einfach mal bischen anordnen das ganze
= (4* [mm] 3^n [/mm] - [mm] 3^n [/mm] -4 +3) /2
mußt jetzt nurnoch einmal geschickt ausklammern und beachten das 3* [mm] 3^n [/mm] = [mm] 3^{n+1} [/mm] ist
mfg
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![[eek]](/images/smileys/eek.gif "[eek]"){kind=small}
- das sieht nicht gut aus!
sollte nun zu schaffen sein ...
