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| Aufgabe | 3) Überprüfen Sie, ob folgende Aussagen für alle Mengen [mm] $A_1,A_2,B_1,B_2$ gelten:\\
[/mm]
[mm] $(A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2)=(A_1\times B_1)\cap (A_2\times B_2),$\\
[/mm]
[mm] $(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)=(A_1\times B_1)\cup (A_2\times B_2).$ [/mm] |
3) [mm] $(x,y)\in (A_1 \times B_1)\cap [/mm] ( [mm] A_2 \times B_2) \\
[/mm]
[mm] \iff \left\{\begin{array}{c}(x,y) \in A_1 \times B_1 \\ (x,y) \in A_2 \times B_2 \end{array}\right. \\
[/mm]
[mm] \iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1,\ y\in B_1 \\ x \in A_2,\ y\in B_2 \end{array}\right. \\
[/mm]
[mm] \iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1,\ x\in A_2 \\ y \in B_1,\ y\in B_2 \end{array}\right. \\
[/mm]
[mm] \iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1\cap A_2 \\ y \in B_1\cap B_2 \end{array}\right. \\
[/mm]
[mm] \iff [/mm] (x,y) [mm] \in (A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2)$\\
[/mm]
[mm] q.e.d.\\\\
[/mm]
[mm] $(A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)=(A_1\times B_1)\cup (A_2\times B_2)$\\
[/mm]
[mm] Gegenbeispiel:\\
[/mm]
Sei [mm] $A_1=\emptyset =B_2$ [/mm] und [mm] $A_2\ne\emptyset\ne B_1$.\\
[/mm]
Dann erhalten [mm] wir:\\
[/mm]
[mm] $(A_2)\times(B_1)=(\emptyset)\times(\emptyset)$\\
[/mm]
[mm] $\{irgendetwas\, nicht\, leeres\}=\emptyset$ \lightning\\
[/mm]
Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne sagen
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> 3) Überprüfen Sie, ob folgende Aussagen für alle Mengen
> [mm]A_1,A_2,B_1,B_2[/mm] [mm]gelten:\\[/mm]
> [mm](A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2)=(A_1\times B_1)\cap (A_2\times B_2),[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm](A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)=(A_1\times B_1)\cup (A_2\times B_2).[/mm]
>
>
>
> 3) [mm](x,y)\in (A_1 \times B_1)\cap[/mm] ( [mm]A_2 \times B_2) \\[/mm]
>
> [mm]\iff \left\{\begin{array}{c}(x,y) \in A_1 \times B_1 \\ (x,y) \in A_2 \times B_2 \end{array}\right. \\[/mm]
>
> [mm]\iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1,\ y\in B_1 \\ x \in A_2,\ y\in B_2 \end{array}\right. \\[/mm]
>
> [mm]\iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1,\ x\in A_2 \\ y \in B_1,\ y\in B_2 \end{array}\right. \\[/mm]
>
> [mm]\iff \left\{\begin{array}{c}x \in A_1\cap A_2 \\ y \in B_1\cap B_2 \end{array}\right. \\[/mm]
>
> [mm]\iff[/mm] (x,y) [mm]\in (A_1\cap A_2)\times (B_1\cap B_2)$\\[/mm]
>
> [mm]q.e.d.\\\\[/mm]
Richtig.
> [mm](A_1\cup A_2)\times(B_1\cup B_2)=(A_1\times B_1)\cup (A_2\times B_2)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]Gegenbeispiel:\\[/mm]
> Sei [mm]A_1=\emptyset =B_2[/mm] und [mm]A_2\ne\emptyset\ne B_1[/mm][mm] .\\[/mm]
>
> Dann erhalten [mm]wir:\\[/mm]
> [mm](A_2)\times(B_1)=(\emptyset)\times(\emptyset)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\{irgendetwas\, nicht\, leeres\}=\emptyset[/mm] [mm]\lightning\\[/mm]
Das ist richtig überlegt.
Konkretisiere es, indem Du wirklich Mengen [mm] A_2 [/mm] und [mm] B_2 [/mm] angibst,
etwa [mm] A_2:=\{a\}, B_1:=\{b\}.
[/mm]
Dann hast Du nicht "irgendwas nicht leeres", sondern eine Menge zum Angeben.
LG Angela
>
> Fällt euch was auf, das falsch ist? Auch Tippfehler gerne
> sagen
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Ok, dann [mm] A_2=\{1\}=B_1
[/mm]
[mm] A_2\times B_1=\{(1,1)\}\neq\emptyset
[/mm]
Danke, dass du meine Frage gesplittet hast :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mi 26.10.2016 | | Autor: | fred97 |
> Ok, dann [mm]A_2=\{1\}=B_1[/mm]
>
> [mm]A_2\times B_1=\{(1,1)\}\neq\emptyset[/mm]
So ist es besser
fred
>
> Danke, dass du meine Frage gesplittet hast :)
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