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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Sa 15.11.2014 | | Autor: | SiFER |
| Aufgabe | Für die Masse h2(t) von S2 gilt entsprechend h2(t) = 100e^(-0,5)*(1–e^(–t))
Berechne den Zeitpunkt, an dem die Funktion die maximale Masse hat. |
h2(t) = 100e^(-0,5)*(1–e^(–t))
Ich habe sofort erkannt, dass es sich hierbei um die Produktregel handelt.
h'2(t) = -50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-0,5t)*e^(-1t)
Nun wende ich das Potenzgesetz (a^(m))*(a^(n))=a^(m+n) an und erhalte:
h'2(t) = -50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-1,5t)
Nun WILL ich das Extrema bestimmen. Also setze ich erstmal die erste Abl. = 0. (HP/TP mittels 2. Abl ist mir bewusst)
h'2(t) = 0
So meine lieben Freunde und Freundinnen. Jetzt seid ihr gefragt. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn Ihr mir nun die Regeln erklären könntet.
Auf das Ergebnis komme ich mittels Taschenrechner/Computer, aber nicht mit der Auflösung des Gleichungssystems via Hand. Das Ergebnis ist folglich: t=1,09861
Mein Ansatz ist wie folgt:
h'2(t)=-50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-1,5t)
h'2(t)=-50*e^(-0,5t)=(-100*e^(-1,5t))/((1-e^(-t)))
Was mich hier stört...ist der Nenner (1-e^(-t)) .
Im Matheraum Forum konnte ich folgenden Beitrag entdecken:
$ [mm] \bruch{e^{-x}}{e^{-0,5x}}=e^{-x-(-0,5x)}=e^{-x+0,5x}=e^{-0,5x} [/mm] $
Allerdings habe ich noch eine 1-... im Nenner. Fraglich. Fraglich.
Ich habe Schwierigkeiten bei der Umformung der e-Funktion mittels Logarithmen-Gesetze.
Ich bitte um Hilfe. Da ich schon lange aus der Schule bin, habe ich die Anwendung der Gesetze vergessen. Danke für jeden Rat!
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Hallo SiFER
> Für die Masse h2(t) von S2 gilt entsprechend h2(t) =
> 100e^(-0,5)*(1–e^(–t))
> Berechne den Zeitpunkt, an dem die Funktion die maximale
> Masse hat.
> h2(t) = 100e^(-0,5)*(1–e^(–t))
Dies soll also wohl eine Extremalaufgabe sein.
Leider hast du keinen Definitionsbereich angegeben
(also: für welche t die Funktion h2(t) betrachtet
werden soll).
Die angegebene Funktion hat die Form
$\ [mm] h_2(t)\ [/mm] =\ [mm] K*(1-e^{-t})$
[/mm]
mit einer Konstanten K.
Ihr Graph besitzt an keiner Stelle eine horizontale
Tangente. Eine allfällige Extremalstelle müsste
am Rand eines (endlichen) Definitionsintervalls
liegen.
> Ich habe sofort erkannt, dass es sich hierbei um die
> Produktregel handelt.
> h'2(t) = -50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-0,5t)*e^(-1t) ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Na, es scheint, dass du doch eine andere Funktion als
die oben angegebene benützt !
> Nun wende ich das Potenzgesetz (a^(m))*(a^(n))=a^(m+n) an
> und erhalte:
>
> h'2(t) = -50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-1,5t) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hinweis: dies könnte (bzw. sollte) man zusammenfassen
und damit vereinfachen.
> Nun WILL ich das Extrema
Hinweis:
Singular: das Extremum
Plural: die Extrema
> bestimmen. Also setze ich erstmal
> die erste Abl. = 0. (HP/TP mittels 2. Abl ist mir bewusst)
>
> h'2(t) = 0
> Auf das Ergebnis komme ich mittels Taschenrechner/Computer,
> aber nicht mit der Auflösung des Gleichungssystems via
> Hand. Das Ergebnis ist folglich: t=1,09861 ()
(Dies entspricht dem ln(3) , was man bei Vereinfachung
eben auch ohne Rechner finden kann)
(noch ein Hinweis: dies ist aber kein Extremum, sondern
nur eine allfällige Extremalstelle )
> Mein Ansatz ist wie folgt:
> h'2(t)=-50*e^(-0,5t)*(1-e^(-t))+100*e^(-1,5t)
>
> h'2(t)=-50*e^(-0,5t)=(-100*e^(-1,5t))/((1-e^(-t)))
Da komme ich nicht mehr mit ...
Es rächt sich irgendwie, dass du die Ableitungsfunktion
nicht vereinfacht hast.
Man kann sie so notieren, dass man z.B. nicht auch noch
die Kettenregel bemühen muss.
> Was mich hier stört...ist der Nenner (1-e^(-t)) .
Einen solchen Nenner erhält man (bei richtigem Ableiten)
auch gar nicht ....
>
> Im Matheraum Forum konnte ich folgenden Beitrag entdecken:
>
> [mm]\bruch{e^{-x}}{e^{-0,5x}}=e^{-x-(-0,5x)}=e^{-x+0,5x}=e^{-0,5x}[/mm]
> Ich habe Schwierigkeiten bei der Umformung der e-Funktion
> mittels Logarithmen-Gesetze.
Dann wäre aber da eine kleine (dringende) Baustelle ...
Ich gebe dir mal noch die (vereinfachte) erste Ableitung
an:
$\ [mm] h_2'(t)\ [/mm] =\ [mm] -\,50*(e^t-3)*e^{-1.5\,t}$
[/mm]
oder: $\ [mm] h_2'(t)\ [/mm] =\ [mm] 50*\left(3*e^{-1.5\,t}-e^{-0.5\,t} \right)$ [/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:35 So 16.11.2014 | | Autor: | SiFER |
Hier Leute ... Eigeninitiative. Hier ist die Lösung meines Rechenverfahrens.
e^(-0.5t) = 2 * e^(-1.5t) / (1 - e^(-t))
e^(-0,5t)-e^(-1,5t)=2*e^(-1,5t) | : (e^-1,5t)
e^(1t)-e^(0t)=2
e^(1t)-1=2 | +1
e^(1t)=3 |ln
ln e^(1t)=ln(3)
1*t=ln(3)
t=1.09861
Mein Lieber Freund und Helfer. Ich kann den Logarithmus anwenden. Das ist also keine Baustelle. Allerdings gibt es bei komplexeren Aufgaben Schwierigkeiten, weil man Brüche und Klammern berücksichtigen muss, wenn man den Log. bildet, um die Exp.Fkt zu eliminieren.
Das grobe Schema ist mir immer noch bekannt. :)
Trotzdem vielen Dank für deine Bereitschaft mir ein paar Hinweise und Lösungsansätze zu geben! Danke! 
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 So 16.11.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> Hier Leute ... Eigeninitiative. Hier ist die Lösung meines
> Rechenverfahrens.
>
>
> e^(-0.5t) = 2 * e^(-1.5t) / (1 - e^(-t))
>
> e^(-0,5t)-e^(-1,5t)=2*e^(-1,5t) | : (e^-1,5t)
Na, du machst dir die Rechnung einfach komplizierter
als nötig, wenn du hier nacheinander durch Terme
dividierst, durch die man gar nicht dividieren müsste.
Man kann die Rechnung einfach deutlich einfacher
und übersichtlicher gestalten ...
> e^(1t)-e^(0t)=2
>
> e^(1t)-1=2 | +1
>
> e^(1t)=3 |ln
>
> ln e^(1t)=ln(3)
>
> 1*t=ln(3)
>
> t=1.09861
>
> Ich kann den Logarithmus anwenden. Das ist also keine Baustelle.
Meine diesbezügliche bemerkung war nur eine Antwort auf
deinen Satz:
"Ich habe Schwierigkeiten bei der Umformung der e-Funktion
mittels Logarithmen-Gesetze."
> Allerdings gibt es
> bei komplexeren Aufgaben Schwierigkeiten, weil man Brüche
> und Klammern berücksichtigen muss, wenn man den Log.
> bildet, um die Exp.Fkt zu eliminieren.
(dann wäre halt ev. die "Baustelle" im Bereich Umformen
von Termen und Gleichungen mit Produkten und Brüchen
zu suchen)
LG , Al-Chw.
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