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Forum "Stetigkeit" - Analysis I
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Analysis I: Stetigkeit
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:46 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Hallo liebe Leute. Ich bin neu hier und weiß noch nicht so genau wie es hier funktioniert. Jedenfalls hätte ich eine Frage zu einer Aufgabe in Analysis I. Wir haben derzeit Stetigkeit und ich habe totale Probleme die Aufgabe zu lösen. Leider muss ich den Übungszettel bis morgen abgeben. Allerdings habe ich keine Idee zu der Aufgabe. Würde mir jemand helfen auf die Lösung zu kommen? Wenn ja, kann Sie/er sich ja mal melden. Würde mich rießig freuen. Eure Alicia

Ich setz einfach schon mal die Aufgabe hier ein. Diese wäre:

Es seien [mm] f,g:\IR\to\IR [/mm] stetig, und es gelte f(x)=g(x) für alle rationalen Zahlen [mm] x\in\IQ. [/mm] Man zeige, dass f(x)=g(x) sogar für alle reellen Zahlen [mm] x\in\IR [/mm] gilt.

Kann ich hier was mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition anfangen? Würde mich über einen ersten Tipp freuen.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
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Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:53 Mo 07.12.2009
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

deine Idee mit [mm] \varepsilon-\delta [/mm] da ranzugehen ist schon nicht schlecht.

Betrachte mal $h(x) = f(x) - g(x)$
Was gilt für $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] nach Voraussetzung?

Nun nimm an, dass [mm] $f(x_0) \not= g(x_0)$ [/mm] für ein [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] und führe das zum Widerspruch zu deinen Voraussetzungen.

Als Tip: Was passiert ist dann mit $h$ an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ?

MFG,
Gono.

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Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:09 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

folgt daraus, dass h(xo) [mm] \not= [/mm] f(xo) - g(xo) ?

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Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Mo 07.12.2009
Autor: Gonozal_IX

Nein.....

erstmal überlege dir, welche Eigenschaften:

$h(x) = f(x) - g(x)$ denn hat.

Zähl die mal auf :-)

MFG,
Gono.

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Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:25 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Kann es sein, dass sie sich schneiden?

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Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Hat h(x) eine Nullstelle? Ist h(a) [mm] \ge [/mm] 0 und h(b) [mm] \le [/mm] 0 ?

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Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:07 Mo 07.12.2009
Autor: leduart

Hallo
Selber denken. Was war denn über g(x) und f(x) gesagt?
Schon ein paar Millionen mehr Nullstellen als eine.
Du musst auch mal ne Weile die Aufgabe anstarren und überlegen. Wenn du etwa nach ner Nst. fragst guck nach, was du weisst.
Gruss leduart

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Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:21 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Kann ich es so machen:

f(x) [mm] \in [/mm] [a,b] & f(f(x)) = x,

da f:[a,b] stetig, folgt daraus:

(1) f(x) - x > 0   x [mm] \in [/mm] [a,b]

setzt man nun x:= f(xo) in (1) ein, erhält man:

                    f(f(xo)) - f(xo) > 0
[mm] \gdw [/mm]            f(f(xo)) > f(xo)

Annahme:

f(xo) > xo     mit f(f(xo)) > f(xo) folgt aber:

f(f(xo)) > xo,

was einen Widerspruch zur Voraussetzung f(f(x)) = x bedeutet


Stimmt das? Kann ich es so abgeben?




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Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:02 Mo 07.12.2009
Autor: leduart

Hallo
dies passt nicht zu der Aufgabe die du grade hier reingestellt hattest.
Gruss leduart

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Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Oh sorry. War irgendwie bei meiner anderen Aufgabe gelandet.

Kann ich es so abgeben?

Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
                          h(x) = 0

daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind laut Vor. stetig.

Widerspruchsbeweis:

Annahme:   h(x) [mm] \not= [/mm] 0    und stetig
                   h(xo) = a         a > 0 für einen Punkt xo

                   Jede [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung enthält mindestens eine rationale
                   Zahl
                   Widerspruch zu h(x) = 0 für alle rationalen Zahlen x


Bezug
                                                                        
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Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:40 Mo 07.12.2009
Autor: steppenhahn

Hallo alicia1990,

zunächst: Deine Frage ist nicht wichtiger als die anderen, deswegen stelle bitte nicht pro 1/2 Stunde eine neue Frage mit dem Inhalt "Geht das so?", damit sie wieder oben ist.

Auch dass du morgen die Übungsaufgabe abgeben musst, rechtfertigt das nicht --> Eher dransetzen!

So, genug von der Standpauke.

> Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
> h(x) = 0
>
> daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind
> laut Vor. stetig.

Alles noch etwas ungenau, aber die Quintessenz stimmt erstmal. Also:

g,f stetig auf [mm] \IR \Rightarrow [/mm] h mit $h(x) = f(x)-g(x) = 0$ ist stetig auf [mm] \IR. [/mm]

Da f(x) = g(x) für [mm] x\in\IQ, [/mm] gilt h(x) = 0 für [mm] x\in\IQ. [/mm]

> Widerspruchsbeweis:
>
> Annahme:   h(x) [mm]\not=[/mm] 0    und stetig
> h(xo) = a         a > 0 für einen Punkt xo
>
> Jede [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung enthält mindestens eine
> rationale
> Zahl
> Widerspruch zu h(x) = 0 für alle rationalen Zahlen x
>

Ja ... das ist vielleicht richtig, aber wenn ich als Korrektor das lesen würde, würde ich dir trotzdem nicht viele Punkte geben, weil für mich daraus nicht hervorgeht, dass du es verstanden hast.

Also:

Widerspruchsbeweis.

Angenommen, es gäbe ein [mm] $x_{0}\in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_{0}) \not= g(x_{0})$. [/mm] Dann wäre [mm] $h(x_{0})\not= [/mm] 0$.
Da h stetig in [mm] x_{0}\in\IR, [/mm] gilt:

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in\IR: |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |h(x)-h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

Insbesondere gilt dann natürlich auch:

[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in\IQ: |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |h(x)-h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]

(klar, da ich jetzt einfach dasselbe für weniger x fordere).

Es ist für [mm] $x\in\IQ$: [/mm]

[mm] $|h(x)-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |0-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |h(x_{0})| [/mm] > 0$

So, dann ist aber auch [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{|h(x_{0})|}{2} [/mm] > 0$, aber es gilt eben nicht:

[mm] $|h(x)-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{|h(x_{0})|}{2}$, [/mm]

egal wie ich [mm] \delta_\varepsilon [/mm] wähle, da [mm] |h(x)-h(x_{0})| [/mm] unabhängig von [mm] \delta_\varepsilon [/mm] eine Konstante ist.

Widerspruch zur Stetigkeit von h in [mm] x_{0}. [/mm]


Grüße,
Stefan

Bezug
                                                                                
Bezug
Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:55 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

ja, in dem Aufschreiben bin ich nicht gut. Werde mir deine Antwort noch mal genau ansehen und hoffentlich lerne ich was draus. Danke

Bezug
                                                        
Bezug
Analysis I: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:22 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Was meint ihr zu meinem Beweis?

Bezug
                                                                
Bezug
Analysis I: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:00 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Könnte sich mal bitte jemand meinen Beweis anschauen?

Bezug
                                
Bezug
Analysis I: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Mo 07.12.2009
Autor: alicia1990

Bist du noch da?

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Bezug
Analysis I: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:47 Di 08.12.2009
Autor: fred97

Nachdem Du schon einige Antworten bekommen hast, noch eine Möglichkeit:

Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm]  in [mm] \IQ [/mm] mit: [mm] r_n \to x_0. [/mm]

1. [mm] f(r_n) [/mm]  ?  [mm] g(r_n) [/mm]   für jedes n [mm] \in \IN. [/mm] Was kannst Du für "?" einsetzen ?

2. Was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n) [/mm] und was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(r_n) [/mm]  ?

3. [mm] f(x_0) [/mm] ? [mm] g(x_0) [/mm]   Was kannst Du für "?" einsetzen ?

FRED

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