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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:31 Di 22.12.2009 | | Autor: | mausieux |
Hallo zusammen. Ich würde mich über ein Hinweis zur Vorgehensweise zur nachstehenden Aufgabe freuen:
Leiten Sie aus der Definition eines Körpers die folgenden Rechenregeln her:
(a) a*b= 0 => a= 0 oder b= 0
(b) (-a)*b = -(ab)
(c) (-a)*(-b)= ab
Die Definition eines Körpers kenne ich und ist folgende:
Ein Körper [mm] (\IK,+,*) [/mm] besteht aus einer nichtleeren Menge [mm] \IK [/mm] mit zwei Operationen + und * mit folgenden Eigenschaften:
- [mm] (\IK,+) [/mm] ist eine abelsche Gruppe, d.h.
- die Operation ist assoziativ: a+(b+c)=(a+b)+c,
- es gibt ein neutrales Element 0 [mm] \in \IK: [/mm] 0+a=a,
- zu jedem Element a [mm] \in \IK [/mm] gibt es ein entgegengesetztes
Element -a mit (-a)+a= 0 und
- die Operation ist kommutativ: a+b=b+a.
- [mm] (\IK [/mm] \ {0}, *) ist eine abelsche Gruppe, d.h.
- die Operation ist assoziativ: a*(b*c)=(a*b)*c,
- es gibt ein neutrales Element 1 [mm] \in \IK: [/mm] 1*a=a,
- zu jedem Element a [mm] \in \IK [/mm] gibt es ein inverses
Element -a mit [mm] a^{-1}*a= [/mm] 1 und
- die Operation ist kommutativ: a*b=b*a.
- Es gilt das Distributivgesetz a*(b+c) = a*b+a*c.
Wie leite ich nun die Rechenregeln ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
a)
Geh mal davon aus, dass [mm] a\not=0 [/mm] gilt. Dann hat a ein Inverses. Was folgt dann für b?
Dann drehst du die Rollen von a und b mal um (funktioniert aber alles wie davor).
b)
Addiere ab auf beiden Seiten und denke an das Distributivgesetz.
c)
Hattet ihr schon gezeigt, dass (-1)*(-1)=1 ist? Das könntest du zusammen mit b verwenden.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Di 22.12.2009 | | Autor: | mausieux |
Kann ich dann folgendes aufschreiben?
(a) wenn a [mm] \not= [/mm] 0 ist muss b=0 sein, da sonst die Implikation
a*b = 0 => a=0 oder b=0 nicht gilt
oder
wenn b [mm] \not= [/mm] 0 ist muss a=0 sein, da sonst die Implikation
a*b = 0 => a=0 oder b=0 nicht gilt
(b) (-a)*b = -(ab) +ab
(-a)*b+ab = -(ab)+ab
-ab+ab = -ab+ab
0=0
(c) wir haben noch nicht (-1)*(-1)=1 gezeigt, wie soll ich dann vorgehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
a)
Hm nein.
Sei also [mm] a\not=0.
[/mm]
Dann existiert ein [mm] a^{-1} [/mm] mit [mm] aa^{-1}=1.
[/mm]
Also:
$ab=0 [mm] \gdw (ab)a^{-1}=0a^{-1}=0 \gdw a^{-1}(ab)=0 \gdw (a^{-1}a)b=0 \gdw [/mm] 1*b=0 [mm] \gdw [/mm] b=0$.
Das gleiche kannst du machen, wenn du [mm] b\not=0 [/mm] voraussetzt. Dann erhältst du eben a=0.
b)
Hier hast du einfach schon $(-a)b=-ab$ in der 3. Zeile verwendet!
Besser:
$(-a)b=-ab [mm] \gdw [/mm] (-a)b+ab=-ab+ab [mm] \gdw [/mm] (-a)b+ab=0 [mm] \gdw [/mm] b(-a+a)=0 [mm] \gdw [/mm] b*0=0 [mm] \gdw [/mm] 0=0$
c)
Na dann kannst du ja vielleicht zuerst zeigen, dass $(-1)*(-1)=1$ gilt. Dazu kannst du +(-1) auf beiden Seiten rechnen und dann eine -1 links ausklammern.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:46 Di 22.12.2009 | | Autor: | mausieux |
Wie soll ich nur soweit den Durchblick bekommen, dass ich im Februar die Analysis Klausur bestehe? Ich weiß mir keinen Rat mehr. Was habt ihr für Tipps? Wie kann ich doch noch den Durchblick erhalten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:03 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Also ich denke nicht, dass diese Sache nochmal wichtig werden wird. Wenn du das hier nicht auf Anhieb konntest, wird dir das sicher nicht das Genick brechen. Ich stand das erste mal auch so da wie du jetzt.
Aber das legt sich bestimmt. Zumindest, wenn du bereit bist, die mit der Mathematik zu beschäftigen und auch wirklich immer alle Lösungswege noch mal durcharbeitest.
Sachen nachvollziehen zu können ist immer schon gut und damit müssten auch Klausuren gut klappen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Di 22.12.2009 | | Autor: | mausieux |
Woher oder wie soll ich oder kann ich darauf kommen, dass ich das so zeigen muss? Ich verstehe zwar, was du geschrieben hast, aber nicht wieso. Warum muss ich mit dem [mm] a^{-1} [/mm] arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Di 22.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Immer wenn du etwas hast, wie z.B. "Aus ... folgt dies oder jenes", dann kann man das immer so machen, dass man davon ausgeht, dass wenn "dies" nicht gilt, dass dann "jenes" gelten muss.
Und wenn "jenes" nicht gilt, muss "dies" gelten.
Wenn du jetzt selber nicht drauf gekommen bist, ist das auch nicht so schlimm. Hauptsache, du merkst es dir, da man das nicht nur hier braucht.
Und wenn du das bei (a) anwendest, heißt das, dass du davon ausgehst, dass a nicht 0 ist. Und das sagt dir ja (nur), dass a ein Inverses besitzt (und nicht wirklich mehr). Und damit kann man dann arbeiten.
Aber du stehst ja sicher auch noch am Anfang des Studiums, also mach dir keine Sorgen. Vollziehe erst einmal alles nach und dann kommst du sicher auch irgendwann hinter die ganzen Geheimnisse.
Teufel
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