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Hallo!
Gegeben sei folgende komplexe Funktion [mm] $f(z)=xy^{2}+ix^{2}y$ [/mm] wobei $z=x+iy$ ist. Als erstes soll ich überprüfen, wo die Cauchy-Riemann DG erfüllt sind. Dies ist eigentlich kein Problem, die Cauchy-Riemann DG sind nur bei $x=y=0$ erfüllt. Weiters soll ich überprüfen, wo die Funktion differenzierbar und analytisch ist. Ist das richtig, das die Funktion nur in der Punktmenge analytisch ist, weil nur dort die Cauchy-Riemann DG erfüllt sind? Oder muss ich das noch zeigen, wenn ja wie? Und wie überprüft man die Differenzierbarkeit? Muss man einfach nur in die Definition der Ableitung einsetzen?
Grüße,
Christian.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Sa 05.11.2005 | | Autor: | Infinit |
Hallo Christian,
die komplexe Funktion ist dann differenzierbar, wenn sie stetige partielle Ableitungen nach x bzw. y besitzt (ist bei Dir gegeben) und wenn die Cauchy-Riemannschen DGLen gelten.
Sie ist dann analytisch, wenn sie inder Umgebung eines Punktes [mm] $z_{0}$ [/mm] differenzierbar ist. Das ist dann der Fall, wenn diese Funktion durch eine konvergente Potenzreihe in einem Kreis um [mm] $z_{0}$ [/mm] herum dargestellt werden kann.
Viele Grüße,
Infinit
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