Analytische Funktionen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Seien g,h analytisch bzw. holomorph mit g(x)<h(x) für alle x. Ist dann [mm] g^{(n)}(x) |
Für einfache Beispiele scheint es zu stimmen. Gilt das allgemein?
Kann mir jemand ein Gegenbeispiel sagen.
Schon mal danke für alle Antworten.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Mo 24.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Hallo, könntest du die Aufgabenstellung etwas präzisieren? Was ist der Definitionsbereich von $g$ und $h$? Was bedeutet "$g(x)<h(x)$" für holomorphe Funktionen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mo 24.01.2011 | | Autor: | hawkingfan |
Als Definitionsbereich und Bildbereich reicht eigentlich erst mal [mm] \IR [/mm] und dann macht natürlich der Begriff "holomorph" nicht mehr so viel Sinn.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Mo 24.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Wenn du keine keine weiteren Einschränkungen machst, glaube ich dir die Aussage "Für einfache Beispiele scheint es zu stimmen" nicht so ohne Weiteres, denn schon für das erste (allereinfachste) Beispiel, welches mir einfällt, wird die Aussage falsch ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Wenn ich Dich richtig verstanden habe (nach Deiner Mitteilung auf die Frage von emil11), sind h und g Funktionen auf [mm] \IR, [/mm] die beliebig oft differenzierbar sind.
Nimm mal h(x)=1 und g(x)= 0
Dann ist g(x)<h(x) für jedes x [mm] \in \IR, [/mm] aber .......
FRED
|
|
|
| |
|
Das stimmt. Danke.
Was ist mit [mm] g^{(n)}(x)\le h^{(n)}(x) [/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:19 Mo 24.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Das stimmt. Danke.
>
> Was ist mit [mm]g^{(n)}(x)\le h^{(n)}(x)[/mm] ?
Mann , berechne doch mal diese Ableitungen, dann siehst Du was ich mit "aber ....." gemeint habe !
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mo 24.01.2011 | | Autor: | emil11 |
Was er meint, ist dass mit [mm] "$\leq$" [/mm] dein Gegenbeispiel nichts mehr taugt. Wie auch immer, es gibt auch für diese Aussage Gegenbeispiele (sogar recht einfache). Falls du selbst darüber nachdenken möchtest, sei dir hiermit die Gelegenheit gegeben. Falls nicht, frag noch ein letztes Mal nach.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mo 24.01.2011 | | Autor: | hawkingfan |
Soweit ich das sehe wird [mm] \le [/mm] nicht verletzt.
Ein anderes Beispiel wäre allerdings
g(x)=sin(x) und h(x)=2 und dann wird auch [mm] \le [/mm] verletzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Mo 24.01.2011 | | Autor: | hawkingfan |
Soweit ich das sehe wird [mm] \le [/mm] in deinem Beispiel nicht verletzt.
Ein anderes Beispiel wäre allerdings
g(x)=sin(x) und h(x)=2 und dann wird auch [mm] \le [/mm] falsch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 24.01.2011 | | Autor: | emil11 |
... richtig, womit deine Frage also beantwortet wäre. Wie kamst du auf die Vermutung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:42 Mi 26.01.2011 | | Autor: | hawkingfan |
Ich hatte mir Funktionen f,g angeguckt, die etwas komplizierter waren. Nichtmal die Ungleichheit f>g kann ich auch nur ansatzweise sehen, auch wenn sie wohl erfüllt ist.
f,g sind streng monoton steigend, aber f´ und g´ gehen gegen 0.
Außerdem haben f und g immer ein gewisses Maß an "Selbstähnlcihkeit" so ähnlich wie bei Logarithmen, das heißt wenn man sich das große Bild eines Plots von 10 bis 10^10 anguckt und dann einen kleinen Bereich anguckt, dann ist das Bild so ziemlich das gleiche
In solchen Fällen ist es ja hinreichend für f>g, dass f´(x)>g´(x) für alle reellen x.
Unter gewissen Vorraussetzungen (hier bin ich mir noch nicht ganz klar, welche genau, aber wahrscheinlich reicht es schon aus, dass f,g analytisch sind) reicht es auch zu zeigen, dass in einem Punkt a alle Ableitungen von f größer sind als die zugehörigen Ableitungen von g, also [mm] f^{(n)}(a)>g^{(n)}(a) [/mm] für alle natürlichen n.
Dann habe ich mich gefragt, ob das auch eine notwendige Bedingung ist, ob also eine Äquivalenz gilt. Dies ist in dann nicht der Fall und mitlerweile ist mir klar, dass es auch sehr sehr selten vorkommt, dass auich nur in einem Punkt [mm] f^{(n)}(a)>g^{(n)}(a) [/mm] (ode auch nur größergleich) gilt.
|
|
|
|
