Analytische Geometrie- < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 So 05.12.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | 1. a) Zeigen Sie, dass sich die Geraden [mm] g : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] und [mm]
g : \vec x = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] schneiden, bestimmen sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel.
b) Zeigen Sie, dass die Geraden [mm] g_1 : \vec x = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \\ 3,5 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] g_2 : \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] parallel verlaufen und geben Sie deren Abstand an.
c) Berechnen Sie die Schnittpunkte [mm] S_{12} , S_{13} [/mm] und [mm] s_{23} [/mm] der Geraden g mit der Gleichung [mm] g : \vec x = \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, s \in \IR [/mm] mit den drei Koordinatenebenen und zeichnen Sie diese Punkte und die Gerade in ein räumliches Koordinatensystem ein.
Machen sie dabei kenntlich, ob die Gerade jeweils vor bzw. hinter einer der Koordinatenachsen vorbei läuft. |
Guten Tag
Zu Aufgabe 1a)
Es ist zu erkennen, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, da es kein
[mm] t \in \IR \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} = t * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] geben kann.
Daher sind die Geraden g und h nicht parallel oder identisch
Um zu sehen ob sich die beiden Geraden in einen Punkt schneiden setze ich die beiden rechten Seiten der Geradengleichungen gleich.
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\4 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Daraus ergibt sich ein LGS mit den Unbekannten r und s :
[mm] r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
(1) [mm] r = -3 + 2s [/mm]
(2) [mm] -r = -2 + 3s [/mm]
(3) [mm] 2r = 1 + s [/mm]
Ich setze den Wert der Variablen [mm] r [/mm] den die Gleichung (1) liefert,
also [mm] r = -3 + 2s [/mm] in Gleichung (3) ein .
2 * ( -3 + 2s)= 1 + s
-6 + 4s= 1 + s | -1 ; -4s
-6 -1= s - 4s
-7= -3s |:-3
[mm] \bruch {-7} {-3} = s [/mm]
[mm] s = \bruch{7} {3} [/mm]
Der Wert [mm] s = \bruch {7} {3} [/mm] in Gleichung (1) eingesetzt ergibt für [mm] r [/mm] den Wert
[mm] r = -3 + 2s [/mm]
[mm] r = - 3 + 2 * \bruch {7} {3} [/mm]
[mm] r = -3 + \bruch {14} {3} [/mm]
[mm] r = \bruch {5} {3} [/mm]
Setze ich [mm] r = \bruch {5} {3} [/mm] in (2) ein geht die Gleichung nicht auf.
Das würde dann aber doch bedeuten, dass das LGS keine Lösung hat.
Meine Frage: Wo liegt mein Fehler?
Vielen Dank für euere Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 So 05.12.2010 | | Autor: | Walde |
Hi Dust,
ich kann keinen Rechenfehler entdecken. Könnte es sein, dass du die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben hast?
Wäre der eine Richtungsvektor [mm] \vektor{1 \\ -1\\ \red{-}2} [/mm] statt [mm] \vektor{1 \\ -1\\ 2}, [/mm] gäbe es einen Schnittpunkt für s=1, r=-1
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 07.12.2010 | | Autor: | Dust |
Guten Tag,
Und ich bedanke mich auch hier am Anfang für euere Hilfe.
Zu Aufgabe 1a):
Ist der Richtungsvektor
r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] statt r * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] gibt es diese Lösung.
[mm] g : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] h : \vec x \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Es ist zu erkennen, dass die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, da es kein [mm] t \in \IR \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] t * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] geben kann.
Um zu sehen ob sich die beiden Geraden in einem Punkt schneiden setze ich die beiden rechten Seiten der Geradengleichung gleich.
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 2 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Daraus ergibt sich ein LGS mit den Unbekannten r und s:
[mm] r * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1)" " r = -3 + 2s \\ (2) -r = -2 + 3s \\ (3) -2r = 1 + s \end{matrix} [/mm]
Ich setze den Wert der Variablen [mm] r [/mm] den die Gleichung (1)
liefert, also r = -3 + 2s in die Gleichung (3) -2r = 1 + s ein.
Daraus ergibt sich folgender Wert.
-2 * ( -3 + 2s ) = 1 + s
6 - 4s = 1 + s | -s ; -6
-s - 4s =1 -6
-5s = -5 | : -5
s = 1
Der Wert von s = 1 in (1) eingesetzt ergibt für r den Wert:
r = -3 + 2s
r = -3 + 2 * 1
r = -1
und r = -1 und s = 1 eingesetzt in (2) ergibt.
-r = -2 + 3s
-(-1) = -2 + 3 * 1
1 = 1
Das bedeutet, das LGS hat die Lösung r = -1 und s = 1
Der Ortsvektor [mm] \vec x_S [/mm] des Schnittpunktes muss beide Gleichungen erfüllen.
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) * \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + 1 * \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Der Schnittpunkt liegt bei [mm] \vec x_S = \begin{pmatrix} 1 \\ 7 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] oder [mm] S(1 |7 |0) [/mm]
Aus den Richtungsvektoren
[mm ] [mm] \vec [/mm] u = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} [/mm]
und
[mm] \vec [/mm] v = [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] [/mm] kann nun der Schnittwinkel berechnet werden.
[mm] cos < ( \vec u ; \vec v ) = \bruch { \vec u * \vec v } { \begin{vmatrix} \vec u \end{vmatrix} * \begin{vmatrix} \vec v \end{vmatrix} [/mm] = [mm] \bruch{ 1 * 2 - 1 * 3 - 2 * 1 } { \wurzel {1^2 + (-1)^2 + (-2]^2} *{ \wurzel {2^2 + 3^2 + 1^2}} [/mm] = [mm] \bruch {-3} { \wurzel { 6} * \wurzel { 14}} [/mm] = [mm] -0,3273 [/mm]
Damit ist [mm] cos < ( \vec u ; \vec v ) = cos^{-1} -0,3273 = 109,104° [/mm]
Für den spitzen Nebenwinkel [mm] x [/mm] gilt somit.
[mm] Alpha = 180° - 109,104° = 70,895° [/mm]
Der Schnittwinkel [mm] Alpha [/mm] beträgt 70,9°.
Ist meine Berechnung richtig ?
Und vielen Dank für euere Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Gruß dust
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>
> Ist meine Berechnung richtig ?
Hallo,
ich hab' nicht zum Taschenrechner gegriffen.
Dein Tun jedenfalls ist goldrichtig, und wenn irgendwo ein Fehler sein sollte, dann höchstens ein Tippfehler beim TR.
Den Schnittpunkt hattest Du ja durch Einsetzen beider Parameter bereits geprüft.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 08.12.2010 | | Autor: | Dust |
Guten Tag,
Zu Aufgabe 1b)
Es ist zu erkennen, dass die Richtungsvektoren [mm] \begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \\ 3,5 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] linear abhängig sind, da [mm] \begin{pmatrix} 0,5 \\ -1 \\ 3,5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] t * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix}. [/mm]
Der Richtungsvektor von [mm] g_2 [/mm] ist der auf das Doppelte gestreckte des Richtungsvektors [mm] g_1. [/mm]
Daher sind g und h mindestens parallel oder gar identisch.
Identisch sind diese jedoch nicht, weil der Stützvektor [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\0 \end{pmatrix} [/mm] offenbar nicht der Geraden [mm] g_2 [/mm] angehört.
Denn, dann müßte nämlich die Gleichung [mm] \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] durch einen Wert für s erfüllbar sein.
[mm] \begin{matrix} (1) 8 = 3 - s \\ (2) 0 = 1 + 2s \\ (3) 0 = 1 - 7s \end{matrix} [/mm] = [mm] \begin{matrix} 5 = - s \\ -1 = 2s \\ -1 = 7s \end{matrix} [/mm]
Die Gleichung wird durch keinen Wert für s erfüllt.
Zur Bestimmung des Abstandes wird am einfachsten der Punkt P(8|0|0) von [mm] g_1 [/mm] gewählt, der ja auch der Stützpunkt der Gerade ist.
Der Vektor [mm] \vec u = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} [/mm] ist der Richtungsvektor von [mm] g_2 [/mm]. Als Spannvektoren der zu [mm] g_2 [/mm] senkrechten Ebene E habe Ich durch Probieren die Vektoren [mm] \vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \vec w \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] gefunden.
Bei diesen kommt es nur darauf an, dass diese auf [mm] \vec u [/mm] senkrecht stehen.
Test durch das Skalarprodukt
[mm] \vec u * \vec v = 0 [/mm] [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] -1 * 2 + 2 * 1 * -7 * 0 = 0 [/mm]
[mm] \vec u * \vec w = 0 [/mm] [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] -1 * 3 + 2 * -2 + -7 * -1 = 0 [/mm]
Und [mm] \vec u [/mm] und [mm] \vec v [/mm] dürfen nicht voneinander linear abhängig sein.
Als Stützpunkt der Ebene E verwende Ich den Punkt P(8|0|0), denn dieser soll ja den gegebenen Punkt enthalten, und damit lautet die Gleichung der Ebene.
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\1 \end{pmatrix} [/mm]
Zur Bestimmung des Schnittpunktes F von [mm] g_1 [/mm] und [mm] g_2 [/mm] mache Ich folgenden Ansatz.
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
Umstellen.
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = s * \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -7 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
Daraus ergibt sich folgendes LGS
[mm] \begin{matrix} (1) -5 = s + 2t + 3u \\ (2)" " 1 = -2s + t - 2u \\ (3)" "1 = 7s - u \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} s & 2t & 3u \\ -2s & t & -2u \\ 7s & 0 & -u \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \\ 7 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} \\ \\ Zeile(3) + Zeile(1) * -7 \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -2 & 1 & -2 \\ 0& -14 & -22 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ 1 \\ 36 \end{matrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} \\ Zeile(2) + Zeile(1) * 2 \\ \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & -14 & -22 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ 36 \end{matrix}[/mm] [mm] \begin{matrix} \\ \\ Zeile(3) * 5 + Zeile(2) * 14 \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -110 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ 180 \end{matrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} \\ \\ Zeile(3) : -110 \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ -9 \\ - 1,6363 \end{matrix}[/mm] [mm] \begin{matrix} " " \\ Zeile(2) + Zeile(3) * -4 \\ \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ - 2,4545 \\ - 1,6363 \end{matrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} \\ Zeile(2) : 5 \\ \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} -5 \\ -0,4949 \\ -1,6363 \end{matrix} [/mm] [mm] \\ Zeile(1) + Zeile(3) *-3 \\ \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0 \\ -0,4949 \\ -1,6363 \end{matrix} [/mm] [mm] \begin{matrix} \\ Zeile(1) + Zeile(2) * -2 \\ \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{matrix} 0,9818 \\ -0,4909 \\ -1,6363 \end{matrix} [/mm]
[mm] \begin{matrix} s= 0,9818 \\ t= -0,4909 \\ u= -1,6363 \end{matrix} [/mm]
Wenn ich jetzt die Werte für s, t und u in die untere Gleichung einsetze passen die Werte nicht.
[mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + u * \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
Wo liegt der Fehler?
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Vielen dank für euere Hilfe
Gruß Dust.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Fehler liegt bei der Operation:$ [mm] \begin{matrix} \\ \\ Zeile(3) \cdot{} 5 + Zeile(2) \cdot{} 14 \end{matrix} [/mm] $
da hast du die letzten 2 Einträge nur 5*Zeile 3!
zum überprüfen empfehl ich dir :
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm
dort wird auch wenn du es ankreuzt genau vorgerechnet.
(aber benutz es nur zum überprüfen, sonst hast du nicht genug Übung.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:11 Do 09.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Zu Aufgabe 1c)
[mm] g : \vec x = \begin{pmatrix} -2 \\4 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
Untersuchung ob die Gerade g die [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene schneidet.
Die [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene kann durch die Gleichung
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
oder verkürzt
[mm] E : \vec x = s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
dargestellt werden.
Stützpunkt der Ebene ist der Ursprung O(0|0|0) des Koordinatensystems.
Die Richtungsvektoren [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] der [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_2 [/mm] -Achse spannen die Ebene E auf.
Zur Bestimmung eines etwaigen Schnittpunktes ist die Vektorgleichung
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] zu betrachten.
Daraus ergibt sich das LGS
[mm ] [mm] \begin{matrix} (1) -2 + 2r = s \\ (2) +4 - 2r = t \\ (3) +0 + 1 = 0 \end{matrix} [/mm] [/mm]
Aus (3) geht hervor : Das LGS hat keine Lösung. Das bedeutet, es gibt keinen Schnittpunkt mit der [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene.
Versuch mit der [mm] x_1 - x_3 [/mm] Ebene.
Die [mm] x_1 - x_3 [/mm] Ebene kann durch die Gleichung
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] dargestellt werden.
Die [mm] x_1 - x_3 [/mm] -Ebene wird verkürzt durch die Gleichung
[mm] E : \vec x = s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] dargestellt.
Die Richtungsvektoren [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] der [mm] x_1 [/mm] bzw. [mm] x_3 [/mm] -Achse spannen die Ebene E auf.
Zur Bestimmung des etwaigen Schnittpunktes ist die Vektorgleichung
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] s * \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] zu betrachten .
Daraus ergibt sich das LGS:
[mm] \begin{pmatrix} (1) -2 + 2r = s \\ (2) +4 - 2r = 0 \\ (3) +++r = t
\end{pmatrix} [/mm]
Aus (2) geht hervor [mm] r = 2 [/mm] . (2) in (1) und (3) eingesetzt erhalte ich [mm) s = 2 [/mm] und [mm] t = 2 [/mm] .
Diese Werte von r, s und t in die Geraden- bzw. in die Ebenengleichung eingesetzt, ergeben den Vektor, dessen Ortspunkt sowohl der Geraden als auch der Ebene angehört.
Es ist dies der Vektor [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm]
Die Gerade schneidet die [mm] x_1 - x_3 [/mm] - Ebene im Punkt P(2| 0 | 2).
Versuch mit der [mm] x_2 - x_3 [/mm] Ebene :
Die [mm] x_2 - x_3 [/mm] - Ebene kann durch die Gleichung
[mm] E : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
oder verkürzt durch
[mm] E : \vec x = s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] dargestellt werden.
Stützpunkt der Ebene ist der Ursprung O(0|0|0) der Koordinatensystems.
Die Richtungsvektoren [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] und [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] der [mm] x_2 [/mm] - bzw. [mm] x_3 [/mm] -Achse spannen die Ebene E auf.
Zur Bestimmung eines etwaigen Schnittpunktes ist die Vektorgleichung
[mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] s * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + t * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] zu betrachten .
[mm] \begin{matrix} (1) -2 + 2r = 0 \\ (2) +4 - 2r = 1 \\ (3)+++r = t \end{matrix} [/mm]
[mm [mm] \begin{matrix} (1) r = 1 \\ (2) r = 2 \\ t = 2 \end{matrix} [/mm] [/mm]
Aus (1) und (2) ist erkenntlich. Die Gleichung hat keine Lösung.
Daher schneidet die Gerade [mm] g : \vec x = \begin{pmatrix} -2 \\4 \\ 0 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm]
die [mm] x_2 - x_3 [/mm] -Achse nicht.
Meine Frage ist jetzt was die Schnittpunkte [mm] S_{12} [/mm] , [mm] S_{13} [/mm] und [mm] S_{23} [/mm] sind. Ich habe diese Aufgabenstellung wohl nicht so richtig verstanden?
Vielen Dank im Vorraus für euere Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinen anderen Forum gestellt.
Gruss Dust
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:27 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu der ersten Frage: wird die x1,x2 Ebene getroffen ist die antwort sehr einfach: die Ebene wird durch x3=0 beschrieben (deine Beschreibung ist nicht falsch aber unnütz. dann sieht man direkt, dass der aufpunkt in der Ebene liegt. fertig.
auch dein GS hat die lösung r=0,t=4, s=-2
wieso sagst du es hat keine Lösung?
2. x1-x3 Ebene also x2=0 folgt direkt r=2 und damit der Schnittpunkt. entsprechend x2-x3 Ebene x1=0 r=?
da hast du die 2te Gl falsch rechts 1 statt s!
natürlich geht deine methode auch, wenn man sich nicht verrechnet. aber dass ein Pkt mit der dritten Koordinate 0 in der x1x2 Ebene liegt solltest du sehen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Zu Aufgabe 1c).
Der Schnittpunkt mit der [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene liegt bei S(-1 | 4 | 0).
Der Schnittpunkt mit der [mm] x_1 - x_3 [/mm] -Ebene liegt bei S(2 | 0 | 2).
Der Schnittpunkt mit der [mm] x_2 - x_3 [/mm] -Ebene liegt bei S(0 | 2 | 1).
Ich glaube so müsste es richtig sein.
Gruss Dust
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Hallo Dust,
> Hallo,
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> Zu Aufgabe 1c).
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> Der Schnittpunkt mit der [mm]x_1 - x_2[/mm] -Ebene liegt bei S(-1 |
> 4 | 0).
Hier hast Du Dich verschrieben: S(-2 | 4 | 0)
>
> Der Schnittpunkt mit der [mm]x_1 - x_3[/mm] -Ebene liegt bei S(2 | 0
> | 2).
>
> Der Schnittpunkt mit der [mm]x_2 - x_3[/mm] -Ebene liegt bei S(0 | 2
> | 1).
>
> Ich glaube so müsste es richtig sein.
Ja, mit dem korrigierten Schreibfehler stimmt alles.![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruss Dust
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Zu Aufgabe 1c).
Die Gerade läuft vor der [mm] x_1 [/mm] -Achse vorbei.
Die Gerade läuft vor der [mm] x_2 [/mm] -Achse vorbei.
Die Gerade läuft vor der [mm] x_3 [/mm] -Achse vorbei.
Gruss Dust
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 Fr 10.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
keine Ahnung was ihr im 3d Raum mit vor oder hinter oder neben der x1-achse bezeichnet?
aber da du die Punkte ja leicht in die ebene zeichnen kannst, müssen wir das wohl nicht überprüfen?
Gruss leduart
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