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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:46 Mi 30.09.2009 | | Autor: | Milanie |
| Aufgabe | Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten A(0|0|0), B(8|0|0), C (8|8|0), D (0|8|0) und S (4|4|8) sowie für jedes r in R einer Ebene [mm] E_r: rx_1 [/mm] + 3 [mm] x_3 [/mm] = 8r.
Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar.
Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und schneidet die Kante DS in F und die Kante AS in G.
Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an.
Zeichnen Sie das Viereck BCFG ein.
Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges Trapez ist.
Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Mit dem Einzeichnen hatte ich keine Probleme, aber ich komme mit der Ebene [mm] E_2 [/mm] nicht klar. Ich habe mir überlegt, dass der Punkt F der Schnittpunkt von der Ebene [mm] E_2 [/mm] mit der Gerade durch D und S ist.
Zuerst hab ich also [mm] E_2 [/mm] aufgeschrieben: [mm] E_2: 2x_1 [/mm] + [mm] 3x_3 [/mm] =16. Mit der Angabe, dass die Ebene die Kante BC enthält, kann ich gar nichts anfangen.
Dann habe ich die Gerade aufgestellt :
g: x = (OD) + t* (DS)
g: x = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + t* [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}
[/mm]
Jetzt hab ich [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] ausgerechnet und in die Ebenengleichung eingesetzt:
[mm] x_1 [/mm] = 4t
[mm] x_3= [/mm] 8t
g in [mm] E_2: [/mm]
2*4t + 3+8t=16
32t=16
t= 1/2
Das habe ich dann eingesetzt und F (2|6|4) herausbekommen. Bei G hab ich (2|2|4).
Um herauszufinden, ob das Trapez gleichschenklig ist, hab ich kontrolliert ob GF und BC parallel sind (Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander --> also sind sie parallel) und ob BG und CF gleichlang sind ( mit dem Betrag --> ja, sind sie).
Jetzt kommt mein eigentliches Problem:
Wie finde ich die Innenwinkel heraus?
Ich habe den Schnittwinkel der Gerade durch B und G und der Gerade durch B und C berechnet. Da kommt bei mir [mm] \alpha [/mm] = 74,5° raus. Den gleichen Winkel habe ich aber auch bei dem Schnittpukt der Gerade durch B und G und der Gerade durch G und F. Da kann doch irgendetwas nicht stimmen. Die beiden Winkel müssetn doch zusammen 180° ergeben oder nicht? Hab ich vielleicht bei einer Rechnung nicht den INNENwinkel berechnet?
Es wäre echt toll, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte, wo der Fehler liegt. Vielen Dank schon im Vorraus!
Milanie
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Hallo Milanie,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben sind eine Pyramide ABCDS mit den Punkten A(0|0|0),
> B(8|0|0), C (8|8|0), D (0|8|0) und S (4|4|8) sowie für
> jedes r in R einer Ebene [mm]E_r: rx_1[/mm] + 3 [mm]x_3[/mm] = 8r.
>
> Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar.
> Die Ebene E2 enthält die Pyramidenkante BC und schneidet
> die Kante DS in F und die Kante AS in G.
> Geben Sie die Koordinaten der Punkte F und G an.
> Zeichnen Sie das Viereck BCFG ein.
> Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein gleichschenkliges
> Trapez ist.
> Wie groß sind die Innenwinkel dieses Trapezes.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Mit dem Einzeichnen hatte ich keine Probleme, aber ich
> komme mit der Ebene [mm]E_2[/mm] nicht klar. Ich habe mir überlegt,
> dass der Punkt F der Schnittpunkt von der Ebene [mm]E_2[/mm] mit der
> Gerade durch D und S ist.
> Zuerst hab ich also [mm]E_2[/mm] aufgeschrieben: [mm]E_2: 2x_1[/mm] + [mm]3x_3[/mm]
> =16. Mit der Angabe, dass die Ebene die Kante BC enthält,
> kann ich gar nichts anfangen.
> Dann habe ich die Gerade aufgestellt :
> g: x = (OD) + t* (DS)
> g: x = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 8 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] + t*
> [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 8 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Jetzt hab ich [mm]x_1[/mm] und [mm]x_3[/mm] ausgerechnet und in die
> Ebenengleichung eingesetzt:
> [mm]x_1[/mm] = 4t
> [mm]x_3=[/mm] 8t
>
> g in [mm]E_2:[/mm]
> 2*4t + 3+8t=16
> 32t=16
> t= 1/2
>
> Das habe ich dann eingesetzt und F (2|6|4) herausbekommen.
> Bei G hab ich (2|2|4).
>
> Um herauszufinden, ob das Trapez gleichschenklig ist, hab
> ich kontrolliert ob GF und BC parallel sind
> (Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander --> also sind
> sie parallel) und ob BG und CF gleichlang sind ( mit dem
> Betrag --> ja, sind sie).
>
> Jetzt kommt mein eigentliches Problem:
> Wie finde ich die Innenwinkel heraus?
> Ich habe den Schnittwinkel der Gerade durch B und G und
> der Gerade durch B und C berechnet. Da kommt bei mir [mm]\alpha[/mm]
> = 74,5° raus. Den gleichen Winkel habe ich aber auch bei
> dem Schnittpukt der Gerade durch B und G und der Gerade
> durch G und F. Da kann doch irgendetwas nicht stimmen. Die
> beiden Winkel müssetn doch zusammen 180° ergeben oder
> nicht? Hab ich vielleicht bei einer Rechnung nicht den
> INNENwinkel berechnet?
>
Im Fall der Geraden BG und BC ist der Scheitelpunkt des Winkels B,
d.h die zugehörige Formel lautet
[mm]\cos\left(\alpha\right)=\bruch{\overrightarrow{BC} \* \overrightarrow{BG}}{\vmat{\overrightarrow{BC}}*\vmat{\overrightarrow{BG}}}[/mm]
Im Fall der Geraden BG und GF ist der Scheitelpunkt des Winkels G,
d.h. die Vektoren in Bezug auf diesen Scheitelpunkt anzugeben,
daher ergibt sich folgende Formel:
[mm]\cos\left(\beta\right)=\bruch{\overrightarrow{GB} \* \overrightarrow{GF}}{\vmat{\overrightarrow{GB}}*\vmat{\overrightarrow{GF}}}[/mm]
>
> Es wäre echt toll, wenn mir jemand einen Tipp geben
> könnte, wo der Fehler liegt. Vielen Dank schon im
> Vorraus!
>
>
> Milanie
Gruss
MathePower
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