Analytische Geometrie < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 25.05.2010 | | Autor: | Toertel |
| Aufgabe 1 | a) Es seien die Gleichungen dreier Geraden gegeben:
g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 5 \\ -4} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{0 \\ -2 \\ 8}
[/mm]
g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 6} [/mm] + [mm] \mu \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
g3: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\-1 \\ 3} [/mm] + [mm] \nu \vektor{0 \\1 \\ -4}
[/mm]
Was kann man über die Lage der Geraden
a1) g1 und g2, a2) g1 und g3, a3) g2 und g3 sagen? |
| Aufgabe 2 | b) Nennen Sie die Möglichkeiten, wie zwei geraden im Raum zueinander liegen können.
Wie hängen die möglichen Lagen miteinander zsuammen (z.B. alternative Fälle, oder Sonderfälle)? |
| Aufgabe 3 | c) Zwei Geraden seien durch ihre Gleichungen
g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x1} [/mm] + [mm] \lambda \vec{u}, [/mm] g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{x2} [/mm] + [mm] \mu \vec{v}
[/mm]
Welche Beziehungen müssen zwischen den Vektoren dieser Gleichungen bestehen, wenn die unter b) genannten Lagen vorliegen? (Begründen und veranschaulichen Sie ihre Aussagen!) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ehrlich gesagt gar keine so großen Probleme mit dem Rechnen in dieser Aufgabe, allerdings bräuchte ich mal Hilfe, was bei a) und was bei b) gesucht ist, da ich bei beiden Aufgaben die Geraden auf Kolliniarität oder Komplanarität überprüfen würde.
Für c) würde ich einfach Geradengleichungen aufstellen, in der die Richtungsvektoren einmal Vielfache voneinander sind und einmal halt ohne Vielfache.
Die Aufgabenstellung ist für ein mündliches Abitur ausgelegt, also wäre es nett, wenn ihr etwaige Rechnungen ein bisschen kommentiert.
Gruß
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Hallo
> a) Es seien die Gleichungen dreier Geraden gegeben:
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> g1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{-3 \\ 5 \\ -4}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{0 \\ -2 \\ 8}[/mm]
>
> g2: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 3 \\ 6}[/mm] + [mm]\mu \vektor{2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> g3: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\-1 \\ 3}[/mm] + [mm]\nu \vektor{0 \\1 \\ -4}[/mm]
>
> Was kann man über die Lage der Geraden
>
> a1) g1 und g2, a2) g1 und g3, a3) g2 und g3 sagen?
> b) Nennen Sie die Möglichkeiten, wie zwei geraden im Raum
> zueinander liegen können.
> Wie hängen die möglichen Lagen miteinander zsuammen
> (z.B. alternative Fälle, oder Sonderfälle)?
> c) Zwei Geraden seien durch ihre Gleichungen
>
> g1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{x1}[/mm] + [mm]\lambda \vec{u},[/mm] g2: [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vec{x2}[/mm] + [mm]\mu \vec{v}[/mm]
>
> Welche Beziehungen müssen zwischen den Vektoren dieser
> Gleichungen bestehen, wenn die unter b) genannten Lagen
> vorliegen? (Begründen und veranschaulichen Sie ihre
> Aussagen!)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe ehrlich gesagt gar keine so großen Probleme mit
> dem Rechnen in dieser Aufgabe, allerdings bräuchte ich mal
> Hilfe, was bei a) und was bei b) gesucht ist, da ich bei
> beiden Aufgaben die Geraden auf Kolliniarität oder
> Komplanarität überprüfen würde.
Bevor du a) zu lösen versuchst, solltest du eventuell Frage b) beantworten.. Du hast 2 Geraden in einem 3-Dimensionalen Raum gegeben.. diese Geraden können wie zueinander liegen? (also z.B wäre eine Möglichkeit, dass sie parallel zueinander verlaufen.. was gibts noch? Und die Spezialfälle? Also wenn wir beim parallelen Fall bleiben.. wovon ist der parallele Fall ein Spezialfall?)
Hast du erstmal diese Frage vollständig beantwortet, musst du nur jeweils wissen, wann welcher Fall eintritt und so sollte Aufgabe a) kein Problem sein.
> Für c) würde ich einfach Geradengleichungen aufstellen,
> in der die Richtungsvektoren einmal Vielfache voneinander
> sind und einmal halt ohne Vielfache.
Versuch doch mal deine Gedanken umzusetzen! Übrigens ist hier keine Rechnung zu machen oder ein konkretes Beispiel anzugeben.. du sollst lediglich sagen, wie die Vektoren dieser Geraden sich in jedem unter b) genannten Fall zueinander verhalten müssten, eben damit dieser Fall eintritt.
>
> Die Aufgabenstellung ist für ein mündliches Abitur
> ausgelegt, also wäre es nett, wenn ihr etwaige Rechnungen
> ein bisschen kommentiert.
>
Ausser bei Aufgabe a) is nix zu rechnen.. eben weil es für ne mündliche Prüfung ist.. und du hast ja gesagt die Rechnungen solltest du hinkriegen.. :)
>
> Gruß
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Di 25.05.2010 | | Autor: | Toertel |
Also sollte man zu b) einfach angeben, dass sie entweder Kollinear, oder nicht kollinaer zueinander liegen und wenn sie kollinear sind, besteht die möglichkeit zwischen Echt Parrallelen Graden, oder identischen zu unterscheiden?
Ebenso bei nicht kollinearen Graden nochmal zwischen sich schneidenden Geraden, oder eben windschiefen Geraden zu unterscheiden?
Dann könnte man in a) natürlich an konkreten Beispielen erklären, wäre natürlich super.
Wie schauts denn mit c) aus. Soll man hier einfach nur erklären, dass bei kollinearen Geraden die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sein müssen und bei nicht kollinearen Geraden eben nicht?
gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Di 25.05.2010 | | Autor: | Toertel |
Gut, verstehe.
Also soll ich hier vorführen, dass man bei kollinearität den Stützvektor der einen Graden in die Gleichung der anderen Graden einfügen soll - Also eine Punktprobe durchführen soll um die beiden Gleichungen auf Echt Parrallel und Identisch zu prüfen.
Das würde bedeuten [mm] \vec{x2}=\vec{x1}+\lambda \vec{u}
[/mm]
Und Demnach auch bei nicht Kollinearität die beiden Gleichungen Gleichsetzen um einen Schnittpunkt zu errechnen bzw. festzustellen, dass sie Windschief sind, wenn es kein Schnittpunkt gibt.
Das hieße g1=g2 setzen und Via Subtraktionsverfahren [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] ermitteln, welche ich dann in die Ursprungsgleichungen setze. Ist das Ergebnis richtig stehen auf beiden Seiten die Gleichen Vektor. Sie geben dann den Schnittpunkt an. Ist das Ergebnis nicht eindeutig, also ist der Wert in mindestens einer Koordinate ungleich sind die Graden Windschief.
Muss aber ehrlich gestehen, dass die Aufgabenstellung ein bisschen blöd gewählt ist. Da ist man schnell unnötig verwirrt XD
GRUß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Mi 26.05.2010 | | Autor: | chrisno |
Genau das, was Du aufgeschrieben hast, solltest Du durchführen. Du hast somit ein Verfahren beschrieben, wie Du vorgehst, um die Lagebeziehung zweier beliebiger Geraden durchzuführen. Du musst nicht zwangsläufig die Reihenfolge einhalten, die Du gewählt hast. Gibt es eine andere? Gibt es einen Grund, die eine oder andere Variante vorzuziehen?
Ich finde die Formulierung der Aufgabe b) nicht so schlecht.
Bei c) steht noch etwas von veranschaulichen. Ist damit eine Skizze gemeint?
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