Analytische Lösung einer Betragsgleichung < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
Ich hab eine Aufgabe die im Buch nur auf halb-grafischem Weg gelöst wurde. Mich würde interessieren wie man es mit Fallunterscheindung macht.
[mm] |x^2-x|=24
[/mm]
Das es sich dabei um eine Parabel handelt hab ich erkannt.
Fallunterscheindung:
1. Fall:
[mm] x^2-x\ge0 [/mm] ; [mm] x\ge1
[/mm]
[mm] |x^2-x|=x^2-x=24 [/mm] => [mm] x^2-24=x
[/mm]
Hm, das sieht nach der Parabelgleichung [mm] y=x^2-n [/mm] aus. Aber wo bekomme ich das y her?
2. Fall:
[mm] x^2-x<0 [/mm] ; x<1
[mm] |x^2-x|=-x^2+x=24 [/mm] => Wie geht's jetzt weiter?
Die Lösungen im Buch sind insgesammt:
[mm] y_1=x^2-x [/mm] ; [mm] y_2=24 [/mm] ; [mm] x_1 [/mm] = -4,424 ; [mm] x_2=5,424
[/mm]
Aber wie komme ich auf die beiden x-Werte?
Gruß
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:15 Do 19.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andreas!
> Ich hab eine Aufgabe die im Buch nur auf halb-grafischem
> Weg gelöst wurde. Mich würde interessieren wie man es mit
> Fallunterscheindung macht.
>
> [mm]|x^2-x|=24
[/mm]
>
> Das es sich dabei um eine Parabel handelt hab ich erkannt.
Könntest du bitte die komplette Aufgabenstellung posten oder wenigstens einen "Kontext".
Das Gerät oben ist eine Gleichung, und keine Parabel, man könnte aber die Aufgabenstellung durch eine Funktion beschreiben:
Gegeben: [mm] y=|x^2-x|-24
[/mm]
Gesucht: Nullstellen der Funktion
Diese Funktion ist übrigens keine Parabel, wie folgendes Schaubild zeigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Fallunterscheindung:
>
> 1. Fall:
> [mm]x^2-x\ge0[/mm] ; [mm]x\ge1
[/mm]
Diese beiden Ungleichungen sind nicht äquivalent:
[mm] $x^2-x\ge0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x(x-1)\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ ($x\ge0$ [/mm] und [mm] $x-1\ge [/mm] 0$) oder [mm] ($x\le0$ [/mm] und [mm] $x-1\le [/mm] 0$)
[mm] $\gdw$ ($x\ge0$ [/mm] und [mm] $x\ge [/mm] 1$) oder [mm] ($x\le0$ [/mm] und [mm] $x\le [/mm] 1$)
[mm] $\gdw$ $x\ge [/mm] 1$ oder [mm] $x\le0$
[/mm]
> [mm]|x^2-x|=x^2-x=24[/mm] => [mm]x^2-24=x
[/mm]
> Hm, das sieht nach der Parabelgleichung [mm]y=x^2-n[/mm] aus. Aber
Sieht doch eher wie [mm] $y=x^2\red{+bx}+c$ [/mm] aus...
> wo bekomme ich das y her?
Mit demselben "Trick" wie oben, indem du die Gleichung als Nullstellengleichung einer Parabel auffasst:
[mm] $x^2-24=x$ $\gdw$ $0=x^2-x-24$ $\gdw$ [/mm] Nullstellen von [mm] $y=x^2-x-24$
[/mm]
> 2. Fall:
> [mm]x^2-x<0[/mm] ; x<1
Siehe oben, diese beiden Ungleichungen sind auch nicht äquivalent.
> [mm]|x^2-x|=-x^2+x=24[/mm] => Wie geht's jetzt weiter?
Die rechte Gleichung ist eine quadratischen Gleichung, und kann auf verschiedenen Wegen gelöst werden: p/q-Forum, quadratische Ergänzung etc.,
> Die Lösungen im Buch sind insgesammt:
> [mm]y_1=x^2-x[/mm] ; [mm]y_2=24[/mm] ; [mm]x_1[/mm] = -4,424 ; [mm]x_2=5,424
[/mm]
Das hier tatsächlich y-Werte gesucht/angegeben sind, ließ mich oben einen größeren Zusammenhang der Aufgabe vermuten, denn y-Werte ergeben sich nicht durch Lösen einer Gleichung in x.
> Aber wie komme ich auf die beiden x-Werte?
Poste nochmal die gesamte Aufgabenstellung, oder aber du kannst diese Frage bereits mit meinen nicht zielgerichteten Hinweisen lösen 
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Könntest du bitte die komplette Aufgabenstellung posten
> oder wenigstens einen "Kontext".
> Das Gerät oben ist eine Gleichung, und keine Parabel, man
> könnte aber die Aufgabenstellung durch eine Funktion
> beschreiben:
Der Kontext dazu ist: "Welche reelen Lösungen besitzen die folgenden Betragsgleichungen?"
> Diese Funktion ist übrigens keine Parabel, wie folgendes
> Schaubild zeigt:
Ah, ich sehe was du meinst. Mit welchem Tool hast du eigentlich diese tolle Kurve erstellt. Ich suche unter Linux noch nach einem Programme welches sowas kann. Octave fand ich nicht schlecht, aber nicht so einfach zu lernen. Ich hab es einfach noch nicht geschafft Differential- und Integralrechung zu machen.
> > Aber wie komme ich auf die beiden x-Werte?
>
> Poste nochmal die gesamte Aufgabenstellung, oder aber du
> kannst diese Frage bereits mit meinen nicht zielgerichteten
> Hinweisen lösen
Hm, da hab ich wieder den gleichen Fehler wie bei der letzten Frage gemacht und nicht den Einsatz der p/q-Formel erkannt. Zu dem Thema werde ich wohl noch ein einige Aufgaben rechnen. Aber jetzt komme ich auf die Lösung.
Gruß
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 So 22.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Andreas!
> > Könntest du bitte die komplette Aufgabenstellung posten
>
> > oder wenigstens einen "Kontext".
> > Das Gerät oben ist eine Gleichung, und keine Parabel,
> man
> > könnte aber die Aufgabenstellung durch eine Funktion
> > beschreiben:
>
> Der Kontext dazu ist: "Welche reelen Lösungen besitzen die
> folgenden Betragsgleichungen?"
Ah so! Also hat die Aufgabe gar nichts mit Parabeln zu tun, es sei denn, man argumentiert mit ihnen während des Lösungswegs.
> > Diese Funktion ist übrigens keine Parabel, wie folgendes
>
> > Schaubild zeigt:
>
> Ah, ich sehe was du meinst. Mit welchem Tool hast du
> eigentlich diese tolle Kurve erstellt. Ich suche unter
> Linux noch nach einem Programme welches sowas kann. Octave
Das ist ![[]](/images/popup.gif) FunkyPlot, den ich vor einiger Zeit für ein Nachhilfeinstitut entwickelt hatte und der deswegen diskrete, aber ausschaltbare Werbung enthält.
Läuft auch unter Linux (Beweis: Vorheriges Schaubild ), würde dir gerne bei der Installation unter Linux helfen, da sie noch nicht so komfortabel wie unter Windows ist.
> fand ich nicht schlecht, aber nicht so einfach zu lernen.
Das kenne ich nicht, werde ich mir aber mal anschauen.
> Ich hab es einfach noch nicht geschafft Differential- und
> Integralrechung zu machen.
>
> > > Aber wie komme ich auf die beiden x-Werte?
> >
> > Poste nochmal die gesamte Aufgabenstellung, oder aber du
>
> > kannst diese Frage bereits mit meinen nicht
> zielgerichteten
> > Hinweisen lösen
>
> Hm, da hab ich wieder den gleichen Fehler wie bei der
> letzten Frage gemacht und nicht den Einsatz der p/q-Formel
> erkannt. Zu dem Thema werde ich wohl noch ein einige
> Aufgaben rechnen. Aber jetzt komme ich auf die Lösung.
Okay, das ist gut.
Der Vollständigkeit halber hier nochmal der komplette Lösungsweg:
[mm]|x^2-x|=24[/mm] (*)
1. Fall: [mm] $x^2-x\ge [/mm] 0$
Die Fallbedingung [mm] $x^2-x\ge [/mm] 0$ ist äquivalent zu:
[mm] [quote]$x^2-x\ge0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x(x-1)\ge [/mm] 0$
[mm] $\gdw$ ($x\ge0$ [/mm] und [mm] $x-1\ge [/mm] 0$) oder [mm] ($x\le0$ [/mm] und [mm] $x-1\le [/mm] 0$)
[mm] $\gdw$ ($x\ge0$ [/mm] und [mm] $x\ge [/mm] 1$) oder [mm] ($x\le0$ [/mm] und [mm] $x\le [/mm] 1$)
[mm] $\gdw$ $x\ge [/mm] 1$ oder [mm] $x\le0$[/quote]
[/mm]
Weiter mit der eigentlichen Betragsgleichung:
(*) [mm] $\gdw$ $x^2-x=24$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2-x-24=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}+24}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1+96}{4}}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=\bruch{1\pm\wurzel{97}}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_1\approx5{,}424$ [/mm] oder [mm] $x_2\approx-4{,}424$
[/mm]
2. Fall: [mm] $x^2-x<0$
[/mm]
Die Fallbedingung [mm] $x^2-x<0$ [/mm] ist äquivalent zu (Berechnung nicht nötig, da sie gerade die restlichen Fälle abdecken muß):
[mm] [quote]$x^2-x<0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] $x(x-1)<0$
[mm] $\gdw$ [/mm] ($x<0$ und $x-1>0$) oder ($x>0$ und $x-1<0$) ("Vorzeichen der beiden Faktoren müssen verschieden sein")
[mm] $\gdw$ [/mm] ($x<0$ und $x>1$) oder ($x>0$ und $x<1$)
[mm] $\gdw$ [/mm] (leere Menge) oder $0<x<1$
[mm] $\gdw$ [/mm] $0<x<1$ (keine Überraschung, das ist gerade [mm] $\IR\setminus\{\mbox{Lösungsmenge des 1. Falls\}}$[/quote]
[/mm]
Weiter mit der eigentlichen Betragsgleichung:
(*) [mm] $\gdw$ $-(x^2-x)=24$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $-x^2+x=24$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x^2-x+24=0$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $x_{1,2}=\bruch{1}{2}\pm\wurzel{\bruch{1}{4}-24}$
[/mm]
Das die Diskriminante negativ ist, gibt es keine Lösungen im zweiten Fall.
[mm] $\Rightarrow$ $\IL=\{5{,}424\ldots, -4{,}424\ldots\}$
[/mm]
Viele Grüße,
Marc
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Hallo,
also gleich zum 2. Fall: der ist nicht reell lösbar, deshalb für dich nicht weiter relevant
zum 1.Fall: den kannst Du einfach mit Mitternachts- bzw pq-Formel lösen, nachdem Du alles auf eine Seite gebracht hast:
[mm] x^2-x-24=0 [/mm]
Dann kommst du auf die gegebenen Werte aus dem Buch.
Ansonsten frag noch mal
Grüße
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