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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 22.06.2010 | | Autor: | reverend |
| Aufgabe | Gegeben sei für [mm] x,y\in\IZ [/mm] die Funktion
[mm] f(x,y)=\bruch{1}{384}\left(\blue{11}x^2y^2+612(x^2+y^2)-712xy-48(x+y)\right)
[/mm]
edit: Entschuldigung, da fehlte die blaue 11. Erst falsch abgeschrieben und dann ohne weitere Kontrolle kopiert. Hoffentlich habt Ihr noch nicht viel Zeit investiert. Peinlich...
Zeige, dass für x=66 und y=2z+1 der Funktionswert ganzzahlig ist.
(Natürlich ist auch [mm] z\in\IZ [/mm] vorauszusetzen.) |
Hallo Forum,
hier mal was Seltenes...
Die Funktion habe ich hier als Alternativlösung einer anderen Aufgabe vorgestellt.
Ein paar Versuche mit anderen Zahlenpaaren als den dort gegebenen zeigten, dass - wie auch nicht anders zu erwarten - nur für wenige Paare ein ganzzahliger Funktionswert folgt.
Für x=1 z.B. bei [mm] y\in\{2,6,38,66,98,134,162,194,198,230,258,...\}
[/mm]
Für x=2 bei [mm] y\in\{1,9,13,15,19,21,25,27,31,...\}
[/mm]
Für x=3 bei [mm] y\in\{2,22,34,54,66,...\}
[/mm]
Das ist ja nicht überraschend. Nur wieso ist es bei x=66 so anders?
Ich gerade keinen einfachen Weg, um die obige Aufgabe zu lösen.
Natürlich kann man irgendwie zeigen, dass das Gemüse in der Klammer unter den gegebenen Voraussetzungen immer durch 384 teilbar ist, nur sehe ich da gerade keinen annähernd eleganten Weg.
Sonst jemand?
Grüße
reverend
PS: Wer auch keine Lösung hat, möge doch bitte die Frage "halboffen" lassen. Danke.
PPS: Der eigene Lösungsversuch steckt oben mit drin. 
Man betrachte alle y, die [mm] \mod{384} [/mm] einer ungeraden Restklasse angehören, und zeige, dass (mit x=66) die Klammer immer [mm] \equiv 0\mod{384} [/mm] ist. Die dazu nötige Wertetabelle umfasst nur 192 Einträge.
PPPS: Zusatzfrage: gibt es noch andere Werte für x als gerade diesen, für die das auch gilt? Klar, alle [mm] x\equiv{66}\mod{384} [/mm] - und sonst?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Di 22.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
Einsetzen hilft...
Marcel hat sich an der Aufgabe versucht und mir per PN einige Ideen mitgeteilt, die mich zu einem anderen Versuch inspiriert haben. Danke!
Betrachten wir die Klammer [mm] \mod{384}, [/mm] wobei es hilfreich ist zu wissen, dass [mm] 384=3*2^7 [/mm] ist.
Außerdem setze ich x=66 direkt ein:
[mm] 11*66^2*y^2+612(66^2+y^2)-712*66y-48(66+y)\equiv 300y^2+144+228y^2-144y-96-48y\equiv 144y^2-192y+48\equiv [/mm]
[mm] \equiv 48(3y^2-4y+1)\equiv 48(3y-1)(y-1)\equiv 0\mod{384}
[/mm]
[mm] \gdw (3y-1)(y-1)\equiv 0\mod{8}
[/mm]
Diese Äquivalenz ist nun für y=2m+1 zu zeigen. Also:
[mm] (6m+2)*2m=4m(3m+1)\equiv 0\mod{8}
[/mm]
Das ist nun für m=2k erfüllt: [mm] 8k(6k+1)\equiv 0\mod{8}
[/mm]
...und auch für m=2k+1: [mm] 4(2k+1)(6k+4)=8(2k+1)(3k+2)\equiv 0\mod{8}
[/mm]
wzzw.
Soweit also die Modulrechnung, hier ohne Wertetabelle mit 192 Einträgen.
***
Die offene Frage bleibt: wieso 66? Wie hätte ich die gefunden ohne zufällige Rechnung? Wenn man sie weiß, ist der Nachweis nicht mehr so schwierig, s.o. Nur: woher weiß man sie?
Grüße
reverend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mi 23.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Gegeben sei für [mm]x,y\in\IZ[/mm] die Funktion
>
> [mm]f(x,y)=\bruch{1}{384}\left(11x^2y^2+612(x^2+y^2)-712xy-48(x+y)\right)[/mm]
>
> Zeige, dass für x=66 und y=2z+1 der Funktionswert
> ganzzahlig ist.
Also, wie schon gesagt, man muss [mm] $11x^2y^2+612(x^2+y^2)-712xy-48(x+y)$ [/mm] modulo $384 = 3 [mm] \cdot 2^7$ [/mm] anschauen. Nach dem chin. Restsatz kann man es also getrennt modulo 3 und [mm] $2^7 [/mm] = 128$ anschauen.
Modulo 3 ist der innere Term $2 [mm] (x^2 y^2 [/mm] + x y)$. Ist $x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$, [/mm] so ist dies immer durch 3 teilbar. Ist $x [mm] \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{3}$, [/mm] so gilt [mm] $x^2 \equiv [/mm] x [mm] \pmod{3}$, [/mm] und somit $2 [mm] (x^2 y^2 [/mm] + x y) [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (y^2 [/mm] + y) [mm] \equiv [/mm] 2 y (y - 2)$. Es ist also fuer $y [mm] \equiv [/mm] 0, 2 [mm] \pmod{3}$ [/mm] durch 3 teilbar. Ist schliesslich $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{3}$, [/mm] so ist $2 [mm] (x^2 y^2 [/mm] + x y) [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] (y^2 [/mm] + 2 y) [mm] \equiv [/mm] 2 y (y - 1)$. Es ist also fuer $y [mm] \equiv [/mm] 0, 1 [mm] \pmod{3}$ [/mm] durch 3 teilbar.
Damit hat man schonmal: damit [mm] $11x^2y^2+612(x^2+y^2)-712xy-48(x+y) \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{384}$ [/mm] fuer mehr als ein drittel aller $y$ gilt (bei festem $x$), muss $x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$ [/mm] sein.
Damit hat man schonmal, dass die 66 durch 3 teilbar sein muss
Jetzt zu den Zweierpotenzen.
Ich habe im folgenden $x$ mit $y$ vertauscht. Da das ganze gluecklicherweise symmetrisch ist, macht das nichts; nur zum Schluss tauschen sich ploetzlich Variablen
So, und jetzt wird's haesslich. Modulo [mm] $2^7 [/mm] = 128$ steht da [mm] $11x^2y^2+100(x^2+y^2)-72xy-48(x+y)$. [/mm] Das ist unschoen
Schauen wir es uns erst modulo 4 an. Dann steht da $3 [mm] x^2 y^2$; [/mm] dies ist nur dann [mm] $\equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{4}$, [/mm] wenn $x [mm] \equiv [/mm] 0, 2 [mm] \pmod{4}$ [/mm] oder $y [mm] \equiv [/mm] 0, 2 [mm] \pmod{4}$ [/mm] ist.
Da wir an ungeraden $x$ als Loesung interessiert sind, muss also $y$ durch 2 teilbar sein -- insgesamt also durch 6. Damit hat man schonmal weniger Kandidaten, naemlich 64, einer davon ist $y = 66$.
Setzen wir also $x = 2 k + 1$ und $y = 2 [mm] \ell$ [/mm] ein. Dann steht da (modulo 128) $48 [mm] k^2 \ell^2 [/mm] + 48 k [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] k^2 [/mm] + 60 [mm] \ell^2 [/mm] + 96 k [mm] \ell [/mm] + 16 [mm] \ell [/mm] + 48 k + 52 = (48 [mm] \ell^2 [/mm] + 16) [mm] k^2 [/mm] + (48 [mm] \ell^2 [/mm] + 96 [mm] \ell [/mm] + 48) k + (60 [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] \ell [/mm] + 52)$.
Da wir dies fuer alle $k$ loesbar haben wollen, koennen wir erstmal untersuchen, fuer welche $A, B, C [mm] \in \IZ/2^7\IZ$ [/mm] das Polynom $A [mm] k^2 [/mm] + B k + C$ fuer alle $k [mm] \in \IZ/2^7\IZ$ [/mm] loesbar ist. Insbesondere muss es fuer $k = 1 + [mm] 2^7 \IZ$ [/mm] loesbar sein, womit $C = -A - B$ sein muss. Damit es fuer $k = 2 + [mm] 2^7 \IZ$ [/mm] loesbar ist, muss $C = -4 A - 2 B$ sein. Gleichsetzen liefert $B = -3 A$, also $C = -A + 3 A = 2 A$. Damit hat man das Polynom $A [mm] k^2 [/mm] - 3 A k + 2 A$. Einsetzen von $k = [mm] 2^7 \IZ$ [/mm] liefert $2 A = [mm] 2^7 \IZ$, [/mm] also $A [mm] \in \{ 2^7 \IZ, 64 + 2^7 \IZ \}$. [/mm] Ist $A = 64 + [mm] 2^7$, [/mm] so hat man $64 [mm] (k^2 [/mm] - 3 k)$, was fuer [mm] $k^2 \equiv [/mm] 3 k [mm] \pmod{2}$ [/mm] loesbar ist -- was immer der Fall ist. Ist $A = [mm] 2^7 \IZ$, [/mm] so hat man das Nullpolynom.
Es muss also gelten: $48 [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] \equiv [/mm] 64 [mm] \pmod{128}$, [/mm] $48 [mm] \ell^2 [/mm] + 96 [mm] \ell [/mm] + 48 [mm] \equiv [/mm] 64 [mm] \pmod{128}$, [/mm] $60 [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] \ell [/mm] + 52 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{128}$ [/mm] oder $48 [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{128}$, [/mm] $48 [mm] \ell^2 [/mm] + 96 [mm] \ell [/mm] + 48 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{128}$, [/mm] $60 [mm] \ell^2 [/mm] + 16 [mm] \ell [/mm] + 52 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{128}$.
[/mm]
Das kann man etwas vereinfachen zu [mm] $\ell^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{8}$, $\ell^2 [/mm] + 2 [mm] \ell \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{8}$, [/mm] $15 [mm] \ell^2 [/mm] + 4 [mm] \ell [/mm] + 13 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{32}$ [/mm] oder [mm] $\ell^2 \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{8}$, $(\ell [/mm] + [mm] 1)^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{8}$, [/mm] $15 [mm] \ell^2 [/mm] + 4 [mm] \ell [/mm] + 13 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{32}$.
[/mm]
Erstmal sieht man sofort, dass [mm] $\ell^2 \equiv [/mm] 5 [mm] \pmod{8}$ [/mm] gar nicht loesbar ist. Damit braucht man nur das erste Gleichungssystem zu betrachten, also [mm] $\ell^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{8}$, $\ell^2 [/mm] + 2 [mm] \ell \equiv [/mm] 3 [mm] \pmod{8}$, [/mm] $15 [mm] \ell^2 [/mm] + 4 [mm] \ell [/mm] + 13 [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{32}$.
[/mm]
Die Gleichung [mm] $\ell^2 \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{8}$ [/mm] ist aequivalent zu [mm] $\ell \equiv [/mm] 1 [mm] \pmod{2}$. [/mm] Schreibe also [mm] $\ell [/mm] = 2 t + 1$; dann schreiben sich die zweite und dritte Gleichung als [mm] $t^2 \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$, [/mm] $t [mm] \equiv t^2 \pmod{2}$. [/mm] Diese beiden Gleichungen sind genau dann loesbar, wenn $t [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{2}$ [/mm] ist. Schreibe also $t = 2 z$.
Hier hab ich $x$ und $y$ zurueckgetauscht:
Dann muss also $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \ell [/mm] = 2 (2 t + 1) = 4 t + 2 = 4 (2 z) + 2 = 8 z + 2 [mm] \pmod{128}$ [/mm] sein. Damit erhaelt man $x [mm] \equiv [/mm] 2, 10, 18, 26, 34, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98, 106, 114, 122 [mm] \pmod{128}$, [/mm] oder anders gesagt, $x [mm] \equiv [/mm] 2 [mm] \pmod{8}$. [/mm] Wenn man den chinesischen Restsatz auf dies zusammen mit $x [mm] \equiv [/mm] 0 [mm] \pmod{3}$ [/mm] anwendet, bekommt man $y [mm] \equiv [/mm] 18 [mm] \pmod{24}$. [/mm] Wenn man alle Restklassen modulo 384 haben will, sind das also $y [mm] \equiv [/mm] 18, 42, 66, 90, 114, 138, 162, 186, 210, 234, 258, 282, 306, 330, 354, 378 [mm] \pmod{384}$. [/mm] Unter anderem halt auch die 66.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:56 Mi 23.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Felix!
Danke für all die Mühe. Das scheint ein guter Weg zu sein.
Irgendwo ist noch ein Fehler, aber immerhin habe ich damit die Lösungsmenge auf [mm] x\equiv 66\mod{96} [/mm] eingrenzen können. Für [mm] x=66,162,258,354\mod{384} [/mm] sind alle ungeraden y Lösungen mit ganzzahligem Funktionswert.
Wo aber der letzte Fehler liegt, sehe ich nicht auf Anhieb und habe gerade keine Zeit, genauer zu suchen. Mein Vortrag für übermorgen ist erst "fast" fertig, und ich fahre in fünf Stunden los zu der Tagung, wo ich ihn halten soll.
Jedenfalls ist die Trennung nach chinesischem Restsatz sehr hilfreich. Vielleicht lässt sich noch eine Abkürzung finden über die Besonderheiten der Restklassen [mm] 2^n.
[/mm]
Übrigens kannte ich \ell [mm] (\ell) [/mm] noch nicht. Das verbessert die Lesbarkeit erheblich.
In allerdankbarster Niederwerfung,
reverend
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