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| Aufgabe | Bringe die Matrix [mm] \pmat{ 4 & 7 & 1 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0} [/mm] durch geeigneten Basiswechsel auf die Form:
[mm] \pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] |
So,
Gesucht sind ja zwei Matrizen, S und T so dass gilt:
S*A*T^-1 = B (wenn B die 2. Matrix ist und A die 1.)
Man überprüft also auf Ähnlichkeit.
Wir hatte die Begriffe Eigenwert und so weiter noch nicht. Ein Freund meinte aber das man die Aufgabe mit sowas lösen müsste.
http://www.danielwinkler.de/la/jnfkochrezept.pdf
Diesen Link hat er mir empfohlen, aber wir haben dass in der Übung vollkommen anders gemacht. Kennt jemand da noch ein anderes Verfahren?
Mir fällt jetzt noch etwas ein:
Warum kann ich nicht einfach sagen, dass T die Matrix A sein soll und S die Matrix B.
Dann gilt SAT^-1 = B, weil A * A^-1 = E ist und S * E = B.
Was wäre dann die neue Basis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:22 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Alex__ |
Hi,
die Äquivalenzrelation "Ähnlichkeit zweier Matrizen" (bzw. dazu äquivalent zweier Endomorphismen) ist wie folgt definiert:
Zwei Matrizen [mm]A, B \in M_{nn}(K)[/mm] heißen ähnlich (oder konjugiert), wenn es eine invertierbare Matrix T gibt, so dass gilt:
A = T-1 · B ·T.
Beachte den Unterschied zu dem, was Du geschrieben hast. M.E. kann es kein "einfacheres" Verfahren geben. Das Konzept um die JNF zu berechnen ist die sog. Filtrierung. Man muss einen nilpotenten Teil und die entsprechende Diagonalform berechnen und beide Teile in der JNF vereinigen. In Sonderfällen fällt ein Teil weg, dann ist die Berechnung "einfacher", doch im Allg. kommt man um die Filtrierung (bzw. Berechnung des Eigenraums) nicht drum herum.
LG
Alex
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:35 Mo 14.01.2008 | | Autor: | nahpets87 |
Moin!
Danke für die Antwort.
Du hast recht, ich hab Ähnlichkeit mit Äquivalenz verwechselt. (Wobei wir in unserer Vorlesung Ähnlichkeit aber mit S*A*S^-1, nicht mit S^-1*A*S definiert haben, weiss nicht ob das ein Unterschied ist.)
Aber das ist im Prinzip ja unerheblich für die Aufgabe. Es war ja nichts von einer Ähnlichkeits- oder Äquivalenzprüfung verlangt. Hätte das lieber weglassen sollen, sorry.
Okay, Basiswechsel bedeutet doch mit einer geeigneten Transformationsmatrix zu multiplizieren. Zumindest sieht ein Basiswechsel einer Abbildung die durch die Matrix A gegeben ist doch immer in etwa so aus: B = S*A*T, wobei S und T irgendwelche Matrizen sind die von der neuen Basis abhängen.
Im Prinzip ist es ja genauso, nur dass wir die Matrix B gegeben haben und S und T suchen und nicht wie sonst S und T ableiten können.
Allerdings geht das Herausfinden von S und T doch ganz einfach hier, nämlich einfach so: Sei S = A^-1 und T = B
Dann hätten wir nämlich erstmal [mm] A^1 [/mm] * A, das ist E und E*B = B!
Wo mach ich hier meinen Denkfehler?? Ist evt. nur A*A^-1 = E ?!
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Hallo,
Du denkst hier sehr schematisch an Transformationsmatrizen.
Ich würde diese Aufgabe mit viel mehr "Handarbeit" bearbeiten.
[mm] A:=\pmat{ 4 & 7 & 1 & 0 \\ 7 & 1 & 1 & 7 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0} [/mm]
kann ich auffassen als die darstellende Matrix einer linearen Abbildung [mm] f:\IR^4 \to \IR^4 [/mm] bzgl. der Standardbasis [mm] E:=(e_1,...,e_4) [/mm] mit f(x):=Ax.
Ich suche nun eine Basis [mm] B:=(b_1,...,b_4) [/mm] mit
[mm] f(e_1)=\vektor{1 \\ 0\\0\\0}_B=b_1,
[/mm]
[mm] f(e_2)=\vektor{1 \\ 1\\0\\0}_B=b_1+b_2,
[/mm]
[mm] f(e_3)=\vektor{0 \\ 1\\1\\0}_B=b_2+b_3,
[/mm]
[mm] f(e_4)=\vektor{0 \\ 0\\1\\1}_B=b_3+b_4.
[/mm]
Wenn ich solch eine Basis B finde, ist A':=
$ [mm] \pmat{1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1} [/mm] $ die darstellende Matrix dieser Abbildung bzgl. E und B.
Dann fange ich an:
[mm] b_1:=f(e_1)
[/mm]
[mm] b_2:=f(e_2)-b_1
[/mm]
usw.
Zeige dann, daß [mm] B:=(b_1,...,b_4) [/mm] eine Basis mit der geforderten Eigenschaft ist, die Transformationsmatrix anzugeben ist dann ja nicht schwierig.
(Du brauchst nur eine, denn die Basis E im Ausgangsraum behalten wir ja).
Gruß v. Angela
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