Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Do 26.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Bestimmen sie die Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe:
y'= - [mm] \bruch{3x+y-2}{x-1} [/mm] , y(3)=1 |
Hallo zusammen,
ich habe lange an dieser Aufgabe rumgerechnet und bin auch auf ein Ergebnis gekommen. Wenn ich dieses jedoch dadurch überprüfe, dass ich mein y in das gegebene y' einsetze und dann mein y ableite um zu sehen, ob die beiden dann entstandenen Gleichung übereinstimmen, bekomme ich eine Ungleichung.
Also wäre es nett, wenn jemand mal über meinen Weg gucken könnte, um mir zu sagen, ob ich mich nur verrechnet habe oder ob ich irgendetwas an dem Prinzip des Weges falsch verstanden habe.
Zur Rechnung
Da y' ist offensichtlich von der Form f( [mm] \bruch{3x+y-2}{x-1} [/mm] ) ist, überprüfe ich zunächst, ob die Determinante von [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] = 0 ist.
Die Determinante ist jedoch ungleich 0, weshalb ich das LGS bestehend aus dem Zähler und dem Nenner des vorigen Bruchs lösen muss.
Die Lösung dieses LGS ( [mm] x_{0}, y_{0} [/mm] )=(1,-1) ist Ursprung eines neuen Koordinatensystems v und w, wobei v=x- [mm] x_{0} [/mm] und w=y- [mm] y_{0} [/mm] , welche die Lösungskurve als Funktion w(v) beschreiben.
Dabei gilt: w(v)=y(v+ [mm] x_{0})- y_{0}=y(v+1)+1 [/mm] und somit ist w'(v)= ... = -3- [mm] \bruch{w}{v}
[/mm]
Meine neue Ausgangsposition lautet also: w'(v)= ... = -3- [mm] \bruch{w}{v}
[/mm]
Ich definiere nun u(v) als [mm] \bruch{w}{v} [/mm] und somit ist u'(v)=...= [mm] \bruch{-3-2u}{v}, [/mm] weshalb auch gilt [mm] \bruch{du}{dv} [/mm] = [mm] \bruch{-3-2u}{v}
[/mm]
Nach Trennung der Variablen ergibt sich, dass u(v)= 5v- [mm] \bruch{6}{4}
[/mm]
Zwischenzeitlich habe ich den Anfangswert wie folgt angepasst:
y(3)=1, w(v)=w(x- [mm] x_{0})=w(x [/mm] -1)=y(v+ [mm] x_{0})- y_{0}= [/mm] y(x- [mm] x_{0}+ x_{0})- y_{0}=y(x)+1 [/mm] und daraus folgt: w(2)=2
w(2)=2, u(v)= [mm] \bruch{w}{v}= [/mm] ... = [mm] \bruch{x-1}{y+1} [/mm] und daraus folgt: u(2)=2
Schließlich habe ich u(v) nach w aufgelöst, woraus folgte: w(v)=5v²- [mm] \bruch{6}{4} [/mm] v und da w=y(v+ [mm] x_{0})- y_{0} [/mm] = ... = y(x)-1 folgt letztlich: y(x)=5x²- [mm] \bruch{46}{4} [/mm] x + [mm] \bruch{30}{4}
[/mm]
So aber das funktioniert eben nicht, wenn ich es überprüfe. Ich hoffe meine Darstellung bleibt trotz der Millionen Variablen verständlich. Wär super cool, wenn mir jemand helfen könnte.
Danke schon mal, Grüße Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:09 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi oeli1985,
allgemein führt eine DGL der Form
[mm] y'=f\left(\bruch{ax+by+c}{\alpha{x}+\beta{y}+\gamma}\right) [/mm] nach einer Koordinatentransformation so wie Du sie beschrieben hast auf eine DGL
[mm] w'(v)=f\left(\bruch{a+b\bruch{w}{v}}{\alpha+\beta\bruch{w}{v}}\right) [/mm]
mit
[mm] v=x-x_0
[/mm]
[mm] w=y-y_0
[/mm]
Hier gilt a=3, b=1, c=2
[mm] \alpha=1 [/mm] und [mm] \beta=0 [/mm] und [mm] \gamma=-1
[/mm]
[mm] x_0=1 [/mm] und [mm] y_0=-1 [/mm] sowie f=id
Also ist folgende DGL zu lösen
[mm] w'(v)=3+\bruch{w}{v}
[/mm]
Diese DGL kann durch substituieren von [mm] u=\bruch{w}{v} [/mm] gelöst werden und die Lösung lautet
u(v)=3*ln(v)+C also
w(v)=(3*ln(v)+C)*v. Durch rücksubstituieren folgt
y(x)=(3*ln(x-1)+C)*(x-1)-1
mit C=1-ln(8)
mfg ullim
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Do 26.10.2006 | | Autor: | oeli1985 |
Hallo nochmal,
also zunächst ist in der Aufgabenstellung ein - verlorengegangen. Das macht aber ja nicht viel aus, da nun f anstatt gleich der id gleich der -id ist und somit wäre w'(v)=-3- [mm] \bruch{w}{v}
[/mm]
Dass ich diese DGL nun durch Substitution von u(v)= [mm] \bruch{w}{v} [/mm] lösen muss war mir auch klar. Habe ich ja auch gemacht. Aber die Überprüfung meines Ergebnisses funktioniert einfach nicht.
Ich denke das kann nur an zwei Dingen liegen. Entweder habe ich den neuen Anfangswert falsch berechnet oder ich habe bei der Integration einen Fehler gemacht.
Also wäre es nett, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich die Grenzen, wie in der 1.Frage beschrieben, richtig berechnet habe und wenn jemand vielleicht zumindest einige Zwischenergebnisse der Integration, am besten die Gesamte einstellen könnte!?
Danke schon mal.
P.S.: Eine weitere Teilaufgabe lautet:y'=(cos x + [mm] \bruch{cosh x}{1+x²})y [/mm] mit y(0)=0 ... Was ist cosh x?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Do 26.10.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo oeli!
Unter [mm] $\cosh(x)$ [/mm] versteht man den ![[]](/images/popup.gif) Cosinus hyperbolicus, der folgendermaßen definiert ist:
[mm] $\cosh(x) [/mm] \ := \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(e^x+e^{-x}\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Do 26.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi nochmal,
> Bestimmen sie die Lösung der folgenden Anfangswertaufgabe:
>
> y'= - [mm]\bruch{3x+y-2}{x-1}[/mm] , y(3)=1
> Hallo zusammen,
>
> ich habe lange an dieser Aufgabe rumgerechnet und bin auch
> auf ein Ergebnis gekommen. Wenn ich dieses jedoch dadurch
> überprüfe, dass ich mein y in das gegebene y' einsetze und
> dann mein y ableite um zu sehen, ob die beiden dann
> entstandenen Gleichung übereinstimmen, bekomme ich eine
> Ungleichung.
>
> Also wäre es nett, wenn jemand mal über meinen Weg gucken
> könnte, um mir zu sagen, ob ich mich nur verrechnet habe
> oder ob ich irgendetwas an dem Prinzip des Weges falsch
> verstanden habe.
>
> Zur Rechnung
>
> Da y' ist offensichtlich von der Form f(
> [mm]\bruch{3x+y-2}{x-1}[/mm] ) ist, überprüfe ich zunächst, ob die
> Determinante von [mm]\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm] = 0 ist.
>
> Die Determinante ist jedoch ungleich 0, weshalb ich das LGS
> bestehend aus dem Zähler und dem Nenner des vorigen Bruchs
> lösen muss.
>
> Die Lösung dieses LGS ( [mm]x_{0}, y_{0}[/mm] )=(1,-1) ist Ursprung
> eines neuen Koordinatensystems v und w, wobei v=x- [mm]x_{0}[/mm]
> und w=y- [mm]y_{0}[/mm] , welche die Lösungskurve als Funktion w(v)
> beschreiben.
>
> Dabei gilt: w(v)=y(v+ [mm]x_{0})- y_{0}=y(v+1)+1[/mm] und somit ist
> w'(v)= ... = -3- [mm]\bruch{w}{v}[/mm]
>
> Meine neue Ausgangsposition lautet also: w'(v)= ... = -3-
> [mm]\bruch{w}{v}[/mm]
>
> Ich definiere nun u(v) als [mm]\bruch{w}{v}[/mm] und somit ist
> u'(v)=...= [mm]\bruch{-3-2u}{v},[/mm] weshalb auch gilt
> [mm]\bruch{du}{dv}[/mm] = [mm]\bruch{-3-2u}{v}[/mm]
>
Bis hierhin stimmts
> Nach Trennung der Variablen ergibt sich, dass u(v)= 5v-
> [mm]\bruch{6}{4}[/mm]
>
Das ist falsch, richtig ist [mm] \bruch{du}{3+2u}=-\bruch{dv}{v}
[/mm]
also [mm] \bruch{1}{2}ln(3+2u)=-ln(v)+C
[/mm]
also [mm] w(v)=\bruch{C}{v}-\bruch{3}{2}v
[/mm]
daraus folgt [mm] y(x)=\bruch{C}{x-1}-\bruch{3}{2}(x-1)-1
[/mm]
mit C=10
> Zwischenzeitlich habe ich den Anfangswert wie folgt
> angepasst:
>
> y(3)=1, w(v)=w(x- [mm]x_{0})=w(x[/mm] -1)=y(v+ [mm]x_{0})- y_{0}=[/mm] y(x-
> [mm]x_{0}+ x_{0})- y_{0}=y(x)+1[/mm] und daraus folgt: w(2)=2
>
> w(2)=2, u(v)= [mm]\bruch{w}{v}=[/mm] ... = [mm]\bruch{x-1}{y+1}[/mm] und
> daraus folgt: u(2)=2
>
> Schließlich habe ich u(v) nach w aufgelöst, woraus folgte:
> w(v)=5v²- [mm]\bruch{6}{4}[/mm] v und da w=y(v+ [mm]x_{0})- y_{0}[/mm] = ...
> = y(x)-1 folgt letztlich: y(x)=5x²- [mm]\bruch{46}{4}[/mm] x +
> [mm]\bruch{30}{4}[/mm]
>
> So aber das funktioniert eben nicht, wenn ich es überprüfe.
> Ich hoffe meine Darstellung bleibt trotz der Millionen
> Variablen verständlich. Wär super cool, wenn mir jemand
> helfen könnte.
>
> Danke schon mal, Grüße Patrick
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