Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:04 So 02.12.2007 | | Autor: | red-m |
| Aufgabe | Zu lösen ist die AWA
[mm] -\bruch{2}{r} \bruch{dr}{ds} \bruch{dv}{ds} + \sin v \cdot \cos v \cdot \left(\bruch{d\varphi}{ds}\right)^2 = \bruch{d^2 v}{ds^2} [/mm]
mit den Anfangswerten
[mm] v(0)=\bruch{\pi}{2}, \bruch{dv}{ds}(0)=0 [/mm] |
Hallo,
ich habe dieses Problem gegeben und komm einfach nicht darauf, warum sich bei den gegeben Anfangswerten die Lösung [mm] v = \bruch{\pi}{2} [/mm] ergeben soll. Kann mir da jemand einen Tipp geben? Bzw. wäre es hilfreich zu wissen, wie ich diese DGL überhaupt löse.
[mm] r, v, \varphi [/mm]
sind Polarkoordinaten und allesamt Funktionen von s.
Die Gleichung stellt einen Teil der DGL's für das relativistische Kepler-Problem dar.
Vielen Dank für eure Hilfe
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Wenn ich das richtig sehe, hast du insgesamt 4 Ableitungen r', [mm] \varphi', [/mm] v', v''. Also müsste man auch 4 Anfangswerte haben, oder? Sonst kann das System nicht eindeutig lösbar sein. Mir fehlen r'(0) und [mm] \varphi'(0).
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:49 Mo 03.12.2007 | | Autor: | red-m |
Ja, Entschuldigung,
die anderen AW lauten: [mm] r(0) = r_0 > 0, r'(0) = 0, \varphi (0) = 0, \varphi'(0) = \varphi_0 [/mm]
Die Erklärung warum ich [mm] v = \bruch{\pi}{2} = const. [/mm] annehmen darf, muss wohl in die Richtung gehen, dass Planetenbahnen in einer Ebene liegen, aber wie kann ich das mathematisch begründen?
[mm] v(s) [/mm] beschreibt den Winkel zur z-Achse.
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Bist du dir sicher, dass v konstant ist? Immerhin fragst du mit der DGL nach der 2ten Ableitung - die wäre dann ja 0.
Ergeben sich noch andere DGL aus irgendwelchen Erhaltungsbedingungen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:39 Mo 03.12.2007 | | Autor: | red-m |
Im Prinzip geht es um das Problem, welches in http://page.mi.fu-berlin.de/sfroehli/RelTheorie/kapitel08.pdf
auf Seite 83 geschildert wird. Damit ich mit meiner Aufgabe, die aus dem System entstehende DGL numerisch zu behandeln, weiterkomme, müsste ich erstmal verstehen, wie man aus der DGL, die ich angegeben habe [mm] v = \bruch{\pi}{2} [/mm] folgern darf (bei den gegebenen Anfangsbedingungen).
Danke für die bisherigen Antworten.
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OK, wenn das das Problem war: Der zweite Term der DGL verschwindet in [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] wegen cos. Wenn man das Koordinatensystem wirklich so drehen kann, dass auch [mm]\bruch{d \vartheta}{d \tau}=0[/mm] (was man streng genommen erst zu zeigen hätte), dann ist auch der linke Term =0.
Die konstante Funktion ist jetzt sicher eine (!) Lösung des Problems, bleibt zu zeigen, dass es die einzige in Frage kommende ist. Da fällt mir um die Uhrzeit aber auch nichts mehr 'zu ein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 Di 04.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ja, Entschuldigung,
> die anderen AW lauten: [mm]r(0) = r_0 > 0, r'(0) = 0, \varphi (0) = 0, \varphi'(0) = \varphi_0[/mm]
>
> Die Erklärung warum ich [mm]v = \bruch{\pi}{2} = const.[/mm]
> annehmen darf, muss wohl in die Richtung gehen, dass
> Planetenbahnen in einer Ebene liegen, aber wie kann ich das
> mathematisch begründen?
Ganz einfach: Einsetzen. Die Funktion v(s) = [mm] \pi/2 [/mm] erfüllt die DGL mit den gegebenen Anfangsbedingungen (Nachrechnen!)
Wegen der Eindeutigkeit der Lösung einer solchen DGL bist du fertig.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Mi 05.12.2007 | | Autor: | mario112 |
| Aufgabe | Löse die Anfangswertaufgabe:
[mm] y''-5y'+6y=e^x, y(0)=\bruch{7}{2}, y'(0)=\bruch{17}{2} [/mm] |
Auch ich habe Probleme mit Anfangswertaufgaben,
wie muss ich denn hier vorgehen und wie lautet die Lösung?
Ich glaube das Thema gefällt mir gar nicht...
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Hallo Mario 112,
die gewöhnlichen DGL, die Du bisher gebracht hast, sind in Bundesländern, in denen es noch Mathe-LK's gibt, teilweise Schulstoff. Selbst ich als absoluter Mathematik-Laie konnte mich da einarbeiten.
Für eine elementare Einführung in gewöhnliche DGL kannst Du ja mal in deiner Uni-Bibliothek nach dem "Papula", Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Bd. 2, gucken (falls das für dich als Mathematik-Student nicht unter deinem Niveau ist). Da gibt's ein Inhaltsverzeichnis:
![[]](/images/popup.gif) Papula Bd. 2
$y'' + 5*y' +6y = [mm] e^x$ [/mm] y(0) = [mm] \bruch{7}{2} [/mm] y'(0) = [mm] \bruch{17}{2}
[/mm]
Zuerst löst Du, wie bereits erklärt, die homogene DGL mit dem Ansatz y = [mm] e^{\lambda*x}. [/mm] Den setzt Du in die homogene DGL ein und erhältst die charakteristische Gleichung
[mm] $\lambda^2 [/mm] + [mm] 5*\lambda [/mm] + 6 = 0$ mit den Lösungen
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -3 und [mm] \lambda_{1} [/mm] = -2
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL ist daher
[mm] $y_{0} [/mm] = [mm] C_{1}*e^{-3x} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{-2x}$
[/mm]
Dann sucht man eine partikuläre Lösung auf
[mm] $y_{p} [/mm] = [mm] A*e^x =y_{p}' [/mm] = [mm] y_{p}'' [/mm] $
und geht damit in die inhomogene DGL ein:
$y'' + 5*y' +6y = [mm] e^x$
[/mm]
[mm] $A*e^x [/mm] + [mm] 5*A*e^x [/mm] + [mm] 6*A*e^x [/mm] = [mm] e^x$ [/mm] A = [mm] \bruch{1}{12}
[/mm]
[mm] $y_{p} [/mm] = [mm] \bruch{1}{12}*e^x$
[/mm]
Die allgemeine Lösung ist dann die Summe aus homogener Lsg. und partikulärer Lsg.:
$y [mm] =y_{0}+y_{p}= C_{1}*e^{-3x} [/mm] + [mm] C_{2}*e^{-2x}+\bruch{1}{12}*e^x$
[/mm]
Es ist immer sinnvoll die Lösung durch Einsetzen der Funktion und ihrer Ableitungen in die DGL zu überprüfen.
Dann sind noch die KOnstanten zu bestimmen:
$y(0) = [mm] C_{1} [/mm] + [mm] C_{2}+\bruch{1}{12} [/mm] = [mm] \bruch{7}{2}$
[/mm]
$y'(0) = [mm] -3*C_{1} -2*C_{2}+\bruch{1}{12} [/mm] = [mm] \bruch{17}{2}$
[/mm]
Das führt auf ein LGS:
[mm] $C_{1} [/mm] + [mm] C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{41}{12}$
[/mm]
[mm] $-3*C_{1} [/mm] + [mm] -2*C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{101}{12}$
[/mm]
[mm] C_{1} [/mm] = [mm] -\bruch{183}{12} [/mm] = [mm] -\bruch{56}{3} [/mm] und [mm] C_{2} [/mm] = [mm] \bruch{224}{12} [/mm] = [mm] \bruch{61}{4}
[/mm]
, falls ich mich nicht verrechnet habe.
Die spezielle Lösung wäre dann
$y = [mm] -\bruch{56}{3}*e^{-3x} [/mm] + [mm] \bruch{61}{4}*e^{-2x}+\bruch{1}{12}*e^x$
[/mm]
LG, Martinius
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