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Anfangswertaufgabe 2.ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Di 15.08.2006
Autor: noidea44

Aufgabe
a.) Formen SIe die Anfangswertaufgabe 2.Ordnung y''+59y'-60y=t
y(0)=0 und y'(0)=1 in ein System 1.Ordnung um.

b.)Führen Sie für dieses System 1.Ordnung einen Schritt des impliziten Euler Verfahrens mit der Schrittweite h=0.1 durch.
c:) warum ist diese DGL eine " steife DGL"?

Hallo zusammen!!

Also ich weiß bei dieser Aufgabe eigentlich überhaupt nicht, wie ich  ansetzen soll. Ich wollte zuerst bei teil a , y'', y' und y ersetzen durch eine Hilfsvariable.
Kann dann aber nicht weiterrechnen , weil ich bisher noch keine DGL 's gelöst habe.
Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Ich komme wirklich nicht mehr weiter.

Danke!

        
Bezug
Anfangswertaufgabe 2.ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:50 Di 15.08.2006
Autor: Event_Horizon

Bei dem Reduktionstrick, wie unser Prof es nannte, wird diese eindimensionale GDL 2. Ordnung in eine zweidimensionale DGL 1. ORdnung überführt. (Funktioniert aber auch mit höheren Dimensionen / Ordnungen)

Du setzt an:
[mm] $z_1=y$ [/mm]
[mm] $z_2=y'$ [/mm]

Nun kannst du ableiten:

[mm] $z_1'=y'=z_2$ [/mm]
[mm] $z_2'=y''=t+60z_1-59z_2$ [/mm] <- aus der gegebenen DGL!

Somit hast du nun eine inhomogene DGL 1. Ordnung:

[mm] $\vec z'=\pmat{ 0 & 1 \\ 60 & -59 }\vec [/mm] z + [mm] \vektor{0 \\ t}$ [/mm]


kannst du jetzt das implizite Eulerverfahren anwenden?

Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe 2.ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Di 15.08.2006
Autor: noidea44

Hallo Event_Horizon!

Dank dir est ein mal für die Antwort!

Ich habe zwar die Formel für das implzite Euler-Verfahren:

y'=[mm] A*\vec y + \vec b(t) = \vec f(t,\vec y) [/mm]

[mm]\vec \Phi_{n+1}=\vec \Phi + (A* \Phi_{n+1} + \vec b(t_n)[/mm]

Leider kann ich damit nichts anfangen. Kannst du mir einen Tipp geben?

LG


Bezug
                        
Bezug
Anfangswertaufgabe 2.ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:56 Di 15.08.2006
Autor: Event_Horizon

Also, du hast

y'=f(y)

f ist eine Funktion, die ist meist gegeben und ist meine letzte Formel oben

Jetzt diskretisiert:

[mm] $y'=\bruch{y_{i+1}-y_i}{h}$ [/mm]

Wenn du jetzt

[mm] $f(y_i)=\bruch{y_{i+1}-y_i}{h}$ [/mm]

nach [mm] $y_{i+1}$ [/mm] auflöst, hast du das explizite Euler-Verfahren da stehen. Das ist das einfachste Verfahren, ist aber nicht so gut. Besser ist das implizite Verfahren, bei dem nicht [mm] $f(y_i)$ [/mm] sondern [mm] $f(y_{i+1})$ [/mm] verwendet wird.

Schreib das erstmal hin.

Als f(y) schreibst du dann die Vektorfunktion aus meinem ersten Posting da hin, und wendest [mm] $\vec z_{i+1}$ [/mm] darauf an. Dann mußt du versuchen, die Gleichung nach [mm] \vec{z_{i+1}} [/mm] aufzulösen, also explizit zu machen.

Das war es dann schon. Die Anfangswerte [mm] \vec{z_0} [/mm] sind gegeben, die setzt du ein, und berechnest daraus [mm] \vec{z_1}. [/mm]

Aber frag mich nicht, was ne steife DGL ist!

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertaufgabe 2.ordnung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 Mi 16.08.2006
Autor: noidea44

Hallo Event_Horizon.

Ich werde erstmal damit rechnen und mal schauen wie weit ich komme.

Die Sache mit der Steifigkeit werde ich noch mal versuchen in der Literatur l zu finden.
Jedenfalls , danke für die ausführliche und schnelle  Antwort !

LG

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