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Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 Di 07.06.2016
Autor: Ice-Man

Aufgabe
Ermitteln Sie die Lösung, die die Anfangsbedingungen erfüllt.
Die allgemeine Lösung ist bekannt.

y'''+y''+3y'-5y=0

y(0)=1, y'(0)=-1, y''(0)=5

Hallo,

ich weis leider nicht so richtig wie ich vorgehen soll.

Mein Ansatz wäre wie folgt,

[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s) [/mm]

[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}+s-s^{2}Y(s)-s+1+3sY(s)-3+5Y(s) [/mm]

[mm] Y(s)[s^{3}-s^{2}+3s-5]-2-s^{2}=0 [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+2}{s^{3}-s^{2}+3s-5} [/mm]



Wäre mein Anfang korrekt, oder bin ich auf dem absolut falschem Weg?

Ich wäre dankbar wenn mir jemand weiterhelfen könnte.



        
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:42 Mi 08.06.2016
Autor: HJKweseleit

Mit dem Ansatz [mm] y=ae^{kx} [/mm] erhältst du die Gleichung

[mm] k^3+k^2+3k-5=0 [/mm] mit den Lösungen k=1, k=-1-2i und k=-1+2i und damit

[mm] y=ae^x+be^{(-1-2i)x}+ce^{(-1+2i)x}. [/mm]

Einsetzen der Randbedingungen führt auf die Gleichungen

a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b-(-3-4i)c=5

mit den Lösungen [mm] a=\bruch{9-i}{2}, [/mm] b=-2-2i und [mm] c=\bruch{-3+5i}{2}. [/mm]                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                    

Falls dein Ansatz nach Laplace die selbe Lösung liefert, ist alles ok.

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:34 Mi 08.06.2016
Autor: Ice-Man

Danke für deine Hilfe,

aber ich habe als Lösung angegeben,

[mm] y=e^{x}-e^{-x}sin(2x) [/mm]

Und das ist doch nicht das gleiche, oder?

Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Schreibfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:19 Mi 08.06.2016
Autor: HJKweseleit

Sorry,

durch einen Schreibfehler habe ich das Gleichungssystem nicht korrekt aufgeschrieben und dadurch eine falsche Lösung bekommen.


[mm] \red{Falsch:} [/mm]


a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b [mm] \red{\textbf{-}} [/mm] (-3-4i)c=5

mit den Lösungen [mm] \red{a=\bruch{9-i}{2}, b=-2-2i} [/mm] und [mm] \red{c=\bruch{-3+5i}{2}. } [/mm]  

[mm] \blue{Richtig:} [/mm]

a+b+c=1
a-(1+2i)b+(2i-1)c=-1
a-(-3+4i)b [mm] \textbf{\blue{+}} [/mm] (-3-4i)c=5

mit den Lösungen [mm] a=\blue{1}, [/mm]  b = [mm] \blue{\bruch{-i}{2}} [/mm] und c = [mm] \blue{\bruch{i}{2}}. [/mm]  

Das führt nun zu

[mm] y=e^x-\bruch{i}{2}e^{-x-2ix}+\bruch{i}{2}e^{-x+2ix} [/mm]

[mm] =e^{x}+\bruch{1}{2i}e^{-x}*e^{-2ix}-\bruch{1}{2i}e^{-x}*e^{2ix} [/mm]            (mit [mm] \bruch{1}{i}=-i) [/mm]

[mm] =e^{x}+e^{-x}*(\bruch{e^{-2ix}-e^{2ix}}{2i} [/mm] )

[mm] =e^{x}-e^{-x}*(\bruch{e^{2ix}-e^{-2ix}}{2i} [/mm] )

[mm] =e^{x}-e^{-x}*sin(2x). [/mm]  

Ja, es ist das Gleiche, ich habe dich hoffentlich durch den Rechenfehler nicht zu sehr irritiert.

Vermutlich geht die Lösung über Laplace schneller und sicherer, vorausgesetzt, man hat die entsprechenden Transformationstafeln.

Bezug
        
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:34 Mi 08.06.2016
Autor: Ice-Man

Ich habe jetzt meinen Ansatz nochmal kontrolliert,

wäre der Ansatz denn richtig?

y'''+y''+3y'+5=0

[mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s) [/mm]

[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s+5} [/mm]

[mm] s_{1}=1 [/mm]
[mm] s_{2}=-1+2j [/mm]
[mm] s_{3}=1-2j [/mm]

Bezug
                
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Mi 08.06.2016
Autor: HJKweseleit


> Ich habe jetzt meinen Ansatz nochmal kontrolliert,
>  
> wäre der Ansatz denn richtig?
>  
> y'''+y''+3y'+5=0

Du meinst y'''+y''+3y' [mm] \red{-} [/mm] 5 [mm] \red{y}=0 [/mm]

>  
> [mm]s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s)[/mm]

Du meinst [mm] s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-sy'(0)-y''(0)+s^{2}Y(s)-sy(0)-y'(0)+3[sY(s)-y(0)]-5Y(s) \red{=0} [/mm]

>  
> [mm]Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s+5}[/mm]

Du meinst [mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s \red{-} 5} [/mm]

>  
> [mm]s_{1}=1[/mm]
>  [mm]s_{2}=-1+2j[/mm]
>  [mm]s_{3}=1-2j[/mm]  

Damit ergibt sich nun  [mm]s_{3}= \red{-}1-2j[/mm]

und daraus

[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s- 5}=\bruch{1}{s-1}-\bruch{\bruch{i}{2}}{s+1+2i}+\bruch{\bruch{i}{2}}{s+1-2i} [/mm]


Bezug
                        
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Mi 08.06.2016
Autor: Ice-Man

Ja, sorry, ich hatte da den ein oder anderen Tippfehler.

Also auf jeden Fall noch einmal vielen Dank.

Bis zum vorletzten Schritt kann ich ja alles nachvollziehen.
Doch beim "rücktransformieren" habe ich noch ein Problem.

Den ersten Term bekomm ich ja noch hin. Aber wie bekomme ich denn aus Term 2 und 3 den Lösungsausdruck

[mm] -e^{-x}sin(2x) [/mm]

Das verstehe ich leider immer noch nicht.

Bezug
                                
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:29 Do 09.06.2016
Autor: HJKweseleit

Hilft dir folgendes weiter:

[mm] Y(s)=\bruch{s^{2}+7}{s^{3}+s^{2}+3s- 5}=\bruch{1}{s-1}-\bruch{2}{s^2+2s+5}? [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Anfangswertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:31 Do 09.06.2016
Autor: Ice-Man

Ich bin ehrlich.
Leider nein, ich habe keine Ahnung wie das funktioniert.

Bezug
                                                
Bezug
Anfangswertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:44 Fr 10.06.2016
Autor: fred97


> Ich bin ehrlich.
> Leider nein, ich habe keine Ahnung wie das funktioniert.

Schau mal hier, unter "Korrespondenztabelle",

https://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation

FRED


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