Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:38 Mi 14.05.2008 | | Autor: | sqoody |
| Aufgabe | | [mm] cosx*y'-sinx*y^2=sinx [/mm] y(0)=0 |
Ich möchte die allgemeine Lösung zu der Differnetialgleichung angeben und die spezielle Lösung.
Mir macht schon die richtige Trennung der Variablen schwierigkeiten.
Komme nach der Variablentrennung dann auf:
[mm] \bruch{y'}{y^2}=\bruch{sinx+sinx}{cosx}
[/mm]
Ist dies noch richtig? Wenn nein, könnte mir jemand den richtigen Weg aufzeigen, das wäre für mein Verständins sehr gut bzw. den weiteren Weg erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Mi 14.05.2008 | | Autor: | wirsing |
Hallo,
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> Ich möchte die allgemeine Lösung zu der
> Differnetialgleichung angeben und die spezielle Lösung.
>Die allgemeine Lösung beinhaltet bereits die spezielle Lösung, neben der homogenen Lösung!
> Mir macht schon die richtige Trennung der Variablen
> schwierigkeiten.
> Komme nach der Variablentrennung dann auf:
>
> [mm]\bruch{y'}{y^2}=\bruch{sinx+sinx}{cosx}[/mm]
>
> Ist dies noch richtig?
Nein.
Mit Hilfe der Trennung der Variablen kannst du die homogene Lösung bestimmen! D.h. dein Ansatz muss demnach folgender sein: y´-a(x)y²=0
bei der Aufgabe siehst das dann so aus:
[mm] cosx*y'-sinx*y^2=0
[/mm]
dann teilst du ihn durch cosx und erhälst:
y´-tanxy²=0 Anmerkung: sinx/cosx = tanx
So nun kannst du die homogene Lösung mit Hilfe der Trennung der Variablen bestimmen:
y´=tanxy² |+tanxy²
dy/dx=tanxy² |y´anders aufgescrieben
dy/y²=tanxdx |*dx |/y² [mm] |\integral
[/mm]
[mm] -y^{-1}= [/mm] -ln|cosx| +c [mm] |\*(-1) [/mm] |Kehrwert
Ergebnis: homogene Lösung: y(x)= C/cosx
Weiteres Vorgehen:
1.) spezielle Lösung bestimmen: cosxy´-sinxy²=sinx
dies machst du über den Ansatz der Variation der Konstanten; bedeutet: deine Konstante c aus deiner homogenen Lösung wird zu eine von x abhängigen Funktion c(x)
Ziel: Bestimmung von c(x)
1.1 1.Ableitung y´ bilden
1.2 y´und y in die DGL einsetzen (c(x) muss sich rauskürzen!) und nach c´(x) auflösen
1.3 Integrieren von c´(x), um c(x) zu erhalten
2.) Allgemeine Lösung aufstellen: y = [mm] y_{hom} [/mm] + [mm] y_{inhom}
[/mm]
3.) AWP verarbeiten: AWP in die allgemeine Lösung einsetzen und nach c auflösen (Bestimmung der Konstanten c)
Du kannst jetzt nochmal die Aufgabe nachrechnen und falls Probleme auftauchen nochmal nachfragen!
Viele Grüße
Anne
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mi 14.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
die homogene Lösung ist
[mm] $y_h [/mm] = [mm] \bruch{1}{ln(cos(x))-C}$
[/mm]
und lässt sich leider nicht mit "Variation der Konstanten" weiter behandeln.
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Do 15.05.2008 | | Autor: | sqoody |
Hallo,
vielen Dank für die genaue Erklärung.
Ist nun deine homogene Lösung oder die Martinius richtig??? Das verwirrt mich nämlich leider jetzt...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:40 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Warum seid Ihr so hartnäckig und beachtet einfach nicht Leduarts Einwand:
die Differentialgleichung ist nicht linear !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Also ist von "homogen" und "inhomogen" zu reden einfach Unsinn
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Do 15.05.2008 | | Autor: | sqoody |
Könntest du mir bitte deinen Einwand genauer erläutern und gegebenfalls das richtige Verfahren zu dieser Aufgabe stellen? Denn nun habe ich das Gefühl mit dieser Aufgabe garnicht mehr klarzukommen?? Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Do 15.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Für jedes lineare Problem gilt:
allg. Lösung = allg. Lösung des homogenen Problems +spezielle Lösung des inhomogenen Problems.
Dein Problem ist aber nicht linear !! Wie du es mit Trennung der Ver. lösen kannst hat Leduart Dir doch gezeigt !
Übrigens: Deine Dgl. ist auch eine Riccatische Dgl. Lösungsmethoden hierfür findest Du in der Literatur
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:16 Do 15.05.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo sqoody,
leduart hat dir die richtige Lösung doch schon aufgeschrieben:
$ [mm] cosx\cdot{}y'-sinx\cdot{}y^2=sinx [/mm] $
$ [mm] cos(x)*y'=sin(x)*y^2+sin(x) [/mm] $
$ [mm] cos(x)*y'=sin(x)*(y^2+1) [/mm] $
$ [mm] y'=tan(x)*(y^2+1) [/mm] $
$ [mm] \bruch{dy}{dx}=tan(x)*(y^2+1) [/mm] $
[mm] $\integral \bruch{1}{1+y^2}\;dy=\integral tan(x)\;dx$
[/mm]
$arctan(y) = -ln(cos(x))+C$
$y = tan(C-ln(cos(x))$
Nun noch die Anfangsbedingung einsetzen: y(0) = 0
$y = tan(C-ln(cos(0))=0$
$C = arctan(0)=0$
Also heißt die spezielle Lösung:
$y = tan(-ln(cos(x))=0$
LG, Martinius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Mi 14.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
normalerweise ist das mit erst homogene, dann inhomogene richtig, das gilt aber eigentlich nur für lineare Dgl.
hier hast du nur einfach falsch gerechnet:
> [mm]cosx*y'-sinx*y^2=sinx[/mm] y(0)=0
[mm] y'*cosx=sinx(1+y^2)
[/mm]
also [mm] y'/(1+y^2)=sinx/cosx
[/mm]
also direkt Trennung der Variablen.
Mach deine Rechnungen mit einem Zwischenschritt mehr, das spart am Ende viel Zeit!
Gruss leduart
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