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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:58 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe hier eine Aufgabe zu AWP und verstehe da am Ansatz der Rechnung nicht ganz wie man darauf kommt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
also x``(t) = [mm] 2x(t)^{3} \Rightarrow [/mm] f(x) = [mm] 2x^{3} \Rightarrow [/mm] F(x) = [mm] \bruch{1}{2}x^{4} [/mm]
x(-2) = 1 = x0
x`(-2) = -1 = x1
bis hierhin ist mir das klar, was unklar wird ist folgendes:
x`(t) = [mm] \pm\wurzel{ 2F(x(t)) - 2F(x0)+ (x1)^{2}}
[/mm]
woher kommt diese Lösung oder wie komme ich auf die rechte Seite?
lg Surfer
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo Surfer,
> Hallo, habe hier eine Aufgabe zu AWP und verstehe da am
> Ansatz der Rechnung nicht ganz wie man darauf kommt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
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> also x''(t) = [mm]2x(t)^{3} \Rightarrow[/mm] f(x) = [mm]2x^{3} \Rightarrow[/mm]
> F(x) = [mm]\bruch{1}{2}x^{4}[/mm]
>
> x(-2) = 1 = x0
> x'(-2) = -1 = x1
>
> bis hierhin ist mir das klar, was unklar wird ist
> folgendes:
>
> x'(t) = [mm]\pm\wurzel{ 2F(x(t)) - 2F(x0)+ (x1)^{2}}[/mm]
>
> woher kommt diese Lösung oder wie komme ich auf die rechte
> Seite?
Nun, das ist eine DGL ohne x'.
Hier hilft folgender Ansatz weiter:
[mm]x'=p \Rightarrow x'' = \bruch{\partial p}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial t}=\bruch{\partial p}{\partial x}*x'=\bruch{\partial p}{\partial x}*p[/mm]
Dann ergibt sich folgende DG:
[mm]p*\bruch{\partial p}{\partial x}=2*x^{3}[/mm]
[mm]\Rightarrow p \ dp = 2 x^{3} \ dx[/mm]
Die Lösung ergibt sich dann zu
[mm]\bruch{p^{2}}{2}=\bruch{1}{2}x^{4}+C=F\left(x\right)+C[/mm]
> lg Surfer
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Fr 27.02.2009 | | Autor: | Surfer |
Ok also die Herleitung is mir jetzt klar, aber wieso setze ich dann wenn ich nach p bzw. x(t)` aufgelöst habe dieses F(x0) mit negativem Vorzeichen ein?
> > x'(t) = [mm]\pm\wurzel{ 2F(x(t)) - 2F(x0)+ (x1)^{2}}[/mm]
> [mm]\bruch{p^{2}}{2}=\bruch{1}{2}x^{4}+C=F\left(x\right)+C[/mm]
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> Ok also die Herleitung is mir jetzt klar, aber wieso setze
> ich dann wenn ich nach p bzw. x(t)' aufgelöst habe dieses
> F(x0) mit negativem Vorzeichen ein?
>
> > > x'(t) = [mm]\pm\wurzel{ 2F(x(t)) - 2F(x0)+ (x1)^{2}}[/mm]
>
> > [mm]\bruch{p^{2}}{2}=\bruch{1}{2}x^{4}+C=F\left(x\right)+C[/mm]
Setzen wir die Anfangsbedingung ein, so ergibt sich
[mm]x_{1}^{2}=2*F\left(x_{0}\right)+2C[/mm]
[mm]\Rightarrow 2C=x_{1}^{2}-2*F\left(x_{0}\right)[/mm]
[mm]\Rightarrow p^{2}= 2*F\left(x\right)+2C=2*F\left( \ x\left(t\right) \ \right)-2*F\left(x_{0}\right)+x_{1}^{2}[/mm]
[mm]\Rightarrow x'\left(t\right)=\pm \wurzel{2*F\left( \ x\left(t\right) \ \right)-2*F\left(x_{0}\right)+x_{1}^{2}}[/mm]
>
> lg Surfer
Gruß
MathePower
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