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| Aufgabe | Lösen sie folgendes Anfangswertproblem:
[mm] y'=\frac{y}{x} [/mm] + [mm] x*(\frac{sin(\frac{y}{x})}{1+cos^2(\frac{y}{x}) })
[/mm]
Anfangswert y(1)=0; |
meine Lösung ist:
mit der subst. z=y/x
[mm] z'*x+z=z+x*(\bruch{sin(z)}{1+cos^2(z)})
[/mm]
kürzen und [mm] {1+cos^2(z)} [/mm] als [mm] {2-sin^2(z)} [/mm] schreiben
=> [mm] z'=(\bruch{sin(z)}{2-sin^2(z)})
[/mm]
[mm] \integral(\bruch{2-sin^2(z)}{sin(z)})dz=\integral [/mm] dx
[mm] \integral(\bruch{2}{sin(z)}-sin(z))dz=x+C
[/mm]
[mm] -x+ln|tan(\frac{z}{2})| [/mm] +cos(z)=C
rücksub.
[mm] -x+ln|tan(\frac{y}{2x})| +cos(\frac{y}{x})=C [/mm]
beim einsetzen der Werte bekomme ich den ln von 0. Doch dieser ist ja unentlich, was als Lösung nicht sein darf....
Wo ist mein Fehler.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangswertproblem-20
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=395596
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:40 Di 28.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Lösen sie folgendes Anfangswertproblem:
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> [mm]y'=\frac{y}{x}[/mm] +
> [mm]x*(\frac{sin(\frac{y}{x})}{1+cos^2(\frac{y}{x}) })[/mm]
>
> Anfangswert y(1)=0;
> meine Lösung ist:
>
> [mm]-x+ln|tan(\frac{y}{2x})| +cos(\frac{y}{x})=C[/mm]
>
> mit der subst. z=y/x
>
> beim einsetzen der Werte bekomme ich den ln von 0. Doch
> dieser ist ja unentlich, was als Lösung nicht sein
> darf....
>
> Wo ist mein Fehler.
Ohne Deine Rechnungen wird Dir diese Frage niemand beantwoten können ...
FRED
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangswertproblem-20
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=395596
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:17 Di 28.07.2009 | | Autor: | fencheltee |
> Lösen sie folgendes Anfangswertproblem:
>
> [mm]y'=\frac{y}{x}[/mm] +
> [mm]x*(\frac{sin(\frac{y}{x})}{1+cos^2(\frac{y}{x}) })[/mm]
>
> Anfangswert y(1)=0;
> meine Lösung ist:
>
> mit der subst. z=y/x
>
> [mm]z'*x+z=z+x*(\bruch{sin(z)}{1+cos^2(z)})[/mm]
>
> kürzen und [mm]{1+cos^2(z)}[/mm] als [mm]{2-sin^2(z)}[/mm] schreiben
>
> => [mm]z'=(\bruch{sin(z)}{2-sin^2(z)})[/mm]
>
> [mm]\integral(\bruch{2-sin^2(z)}{sin(z)})dz=\integral[/mm] dx
>
> [mm]\integral(\bruch{2}{sin(z)}-sin(z))dz=x+C[/mm]
>
>
die stammfunktion von 2/sin(z) sieht seltsam aus, mach mal ne probe!
> [mm]-x+ln|tan(\frac{z}{2})|[/mm] +cos(z)=C
>
> rücksub.
>
> [mm]-x+ln|tan(\frac{y}{2x})| +cos(\frac{y}{x})=C[/mm]
>
>
> beim einsetzen der Werte bekomme ich den ln von 0. Doch
> dieser ist ja unentlich, was als Lösung nicht sein
> darf....
>
> Wo ist mein Fehler.
>
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
> http://www.onlinemathe.de/forum/Anfangswertproblem-20
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=395596
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 28.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Loesung ist richtig, bis auf den Faktor 2 vor dem ln. haettest du aber gar nicht gebraucht. mit y(1)=0 ist y'(1)=0 y''(1)=0 usw. damit ist die Loesung zu dem Anfangswert nur die Loesung y=0
ich schick dir das isoklinenbild mit ein paar Loesungen zu verschiedenen anfangswerten. daran siehst du das Problem.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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du meinst dass es nicht auf das x ankommt und für alle x, die Lösung zum Anfangswert y=0 ist?
doch dann bräuchte ich die Rechnung nicht... versteh ich dass richtig?
Den die Aufgabe ist ne Prüfungsaufgabe und ich denke nicht dass es hier auf die kurze Art geht.....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:25 Di 28.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
hast du mein schoenes Bild angesehen? Da steckt doch die antwort zu deiner Frage. und y(r)=0 kannst du doch wohl selbst in die Dgl einsetzen?
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Di 28.07.2009 | | Autor: | deepblue98 |
Danke für deine hilfe...
mfg deepblue
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