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| Aufgabe | Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
y`= [mm] x^2y^3
[/mm]
y(0)=0 |
Hallo,
wir haben gerade das Thema Differentialgleichungen begonnen, Was eine DGl ist, habe ich auch wohl verstanden, nur sitze ich jetzt vor der Aufgabe und weiß nicht recht, wie ich anfangen soll. Das Skript hilft mir leider auch nicht weiter, da wir noch keine Beispiele behandelt haben.
Muss ich die Gleichung erst nach 0 umstellen?
Also: [mm] x^2y^3 [/mm] - y`= 0 ?
Und dann nach x integrieren? Ich bin verwirrt und würde mich über Tipps, wie ich auf den richtigen Pfad komme, sehr freuen! Schon mal dankeschön!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:35 Mo 12.10.2009 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Jodeldiplom!
Du kannst hier nach der Methode "Trennung der Variablen" verfahren:
bringe alle y-Terme auf die eine und den Rest auf die andere Seite der Gleichung.
siehe nachfolgende Mitteilungen von Fred.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:45 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Jodeldiplom!
>
>
> Du kannst hier nach der Methode "Trennung der Variablen"
> verfahren:
Hallo Roadrunner,
da muß ich Dir widersprechen. Diese Methode funktioniert hier wegen y(0) = 0 nicht
FRED
> bringe alle [mm]y_[/mm]-Terme auf die eine und den Rest auf die
> andere Seite der Gleichung.
>
> Anschließendes (beidseitiges) Integrieren liefert Dir eine
> Gleichung, welche Du nach [mm]y \ = \ ...[/mm] umstellen kannst.
>
>
> Gruß vom
> Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Bei dieser Aufgabe sieht man, dass die Methode "Trennung der Veränderlichen" nicht immer zum Ziel führt , auch wenn die Aufgabenstellung geradezu danach "riecht".
Bei obiger Aufgabe führt das sture Durchorgeln der obigen Methode auf
(*) [mm] $y^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{- \bruch{2}{3}x^3+c}$
[/mm]
Nun sieht man: für jedes Anfangswertproblem
[mm] $y'=x^2y^3 [/mm] $
$y(0)=b$ mit $b [mm] \not= [/mm] 0$
liefert (*) die Lösung.
Aber für das Anfangswertproblem
[mm] $y'=x^2y^3 [/mm] $
$y(0)=0$
liefert eben (*) gerade keine Lösung.
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Mo 12.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem:
> y'= [mm]x^2y^3[/mm]
> y(0)=0
> Hallo,
>
> wir haben gerade das Thema Differentialgleichungen
> begonnen, Was eine DGl ist, habe ich auch wohl verstanden,
> nur sitze ich jetzt vor der Aufgabe und weiß nicht recht,
> wie ich anfangen soll. Das Skript hilft mir leider auch
> nicht weiter, da wir noch keine Beispiele behandelt haben.
> Muss ich die Gleichung erst nach 0 umstellen?
> Also: [mm]x^2y^3[/mm] - y'= 0 ?
> Und dann nach x integrieren? Ich bin verwirrt und würde
> mich über Tipps, wie ich auf den richtigen Pfad komme,
> sehr freuen! Schon mal dankeschön!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Man sieht sofort: die Funktion y = konstant = 0 löst das AWP
Nach dem Satz von Picard-Lindelöf ist das AWP eindeutig lösbar.
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:40 Di 13.10.2009 | | Autor: | Jodeldiplom |
Vielen Dank!
Ich habe jetzt noch eine zweite Aufgabe, gleicher Typus, jedoch ist da y ungleich null, das heißt, ich darf Variablentrennung durchführen und Integrieren, anschließend habe ich die Gleichung nach y umgestellt.
Zum Schluss setze ich dann in diese Gleichung für x die Bedingung ein, oder? Wenn ich y(0)=1 gegeben habe, setze ich in die Gleichung y=..... für x 1 ein und berechne somit die Konstante, oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:27 Di 13.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Zeig doch mal Deine Aufgabe und Deine Rechnungen !
FRED
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Okay, ja, das ist wohl auch sinnvoller, sorry ;)
die Aufgabe ist noch mal genau die gleiche wie oben, also:
y'= [mm] x^2y^3
[/mm]
Nun ist aber die Bedingung gegeben, dass y(0)=1
Ich bin so weit gekommen:
[mm] y'=x^2y^3
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{dy}{y^3} [/mm] = x^2dx
Integrieren und Stammfunktion bilden:
- [mm] \bruch{1}{2y^2} [/mm] + a = [mm] \bruch{1}{3} x^3 [/mm] + b
Umformen und b-a als c [mm] \in \IR [/mm] definieren:
y = [mm] \wurzel{\bruch{-1}{\bruch{2}{3}x^3+2c}}
[/mm]
kann ich jetzt für x null einsetzen und c berechnen?
Für c kommt dann [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] raus
Und jetzt setze ich diesen Wert für c in die Gleichung y = ... ein?
Vielen Dank für die Mühe, wirklich sehr nett!! 
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Hallo Jodeldiplom,
> Okay, ja, das ist wohl auch sinnvoller, sorry ;)
>
> die Aufgabe ist noch mal genau die gleiche wie oben, also:
> y'= [mm]x^2y^3[/mm]
> Nun ist aber die Bedingung gegeben, dass y(0)=1
> Ich bin so weit gekommen:
>
> [mm]y'=x^2y^3[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{dy}{y^3}[/mm] = x^2dx
>
> Integrieren und Stammfunktion bilden:
> - [mm]\bruch{1}{2y^2}[/mm] + a = [mm]\bruch{1}{3} x^3[/mm] + b
>
> Umformen und b-a als c [mm]\in \IR[/mm] definieren:
> y = [mm]\wurzel{\bruch{-1}{\bruch{2}{3}x^3+2c}}[/mm]
>
> kann ich jetzt für x null einsetzen und c berechnen?
> Für c kommt dann [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] raus
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Und jetzt setze ich diesen Wert für c in die Gleichung y =
> ... ein?
So isses.
>
> Vielen Dank für die Mühe, wirklich sehr nett!!
Gruss
MathePower
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