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| Aufgabe | Analytische Lösung der Modellgleichung:
[mm] A=\pmat{ -4 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 3 \\ 2 & 1 & -3 }
[/mm]
Anfangswert = u0 |
Hallo,
ich habe zunächst die Eigenwerte 0 und -6 ausgerechnet. (-6 doppelter EW)
dann die Jordan-Normalgleichung
[mm] J=\pmat{ -6 & 0 & 0 \\ 1 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Jetzt brauche ich die Matrizen S und [mm] S^{-1}
[/mm]
dazu
Kern(A-0*I) => span (1,1,1)
Kern(A+6I) => span (-2,1,1)
[mm] Kern(A+6I)^{2} [/mm] => [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 }
[/mm]
nur ich bräuchte die Matrix S = [mm] \pmat{ 1 & -2 & -\bruch{4}{3} \\ 1 & 1 & \bruch{1}{6} \\ 1 & 1 & \bruch{7}{6} }
[/mm]
/edit: bzw. S = [mm] \pmat{ -\bruch{1}{6} & -2 & -\bruch{4}{3} \\ -\bruch{1}{6} & 1 & \bruch{1}{6} \\ -\bruch{1}{6} & 1 & \bruch{7}{6} }
[/mm]
wo ist denn da mein Fehler :( ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo AlbertKeinstein,
> Analytische Lösung der Modellgleichung:
>
> [mm]A=\pmat{ -4 & 4 & 0 \\
2 & -5 & 3 \\
2 & 1 & -3 }[/mm]
>
> Anfangswert = u0
>
> Hallo,
>
> ich habe zunächst die Eigenwerte 0 und -6 ausgerechnet.
> (-6 doppelter EW)
> dann die Jordan-Normalgleichung
> [mm]J=\pmat{ -6 & 0 & 0 \\
1 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> Jetzt brauche ich die Matrizen S und [mm]S^{-1}[/mm]
>
> dazu
> Kern(A-0*I) => span (1,1,1)
> Kern(A+6I) => span (-2,1,1)
> [mm]Kern(A+6I)^{2}[/mm] => [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 \\
1 & 1 & 1 }[/mm]
>
> nur ich bräuchte die Matrix S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & -\bruch{4}{3} \\
1 & 1 & \bruch{1}{6} \\
1 & 1 & \bruch{7}{6} }[/mm]
Soweit ganz richtig. Aber wie kommst du denn auf die letzte Spalte von S? Der Vektor liegt zwar im [mm]\operatorname{ker}(A+6I)^2[/mm], aber z.B. [mm]\vektor{1\\
-1\\
0}[/mm] würde es auch tun...
> /edit: bzw. S = [mm]\pmat{ -\bruch{1}{6} & -2 & -\bruch{4}{3} \\
-\bruch{1}{6} & 1 & \bruch{1}{6} \\
-\bruch{1}{6} & 1 & \bruch{7}{6} }[/mm]
Du kannst auch als erste Spalte [mm]\vektor{123,456\\
123,456\\
123,456}[/mm] nehmen, das liegt auch im Kern...
> wo ist denn da mein Fehler :( ?
Wenn du mit 'Fehler' meinst, dass die Matrix [mm]S^{-1}AS[/mm] nicht die gewünschte Reihenfolge von Jordankästchen hat, dann musst du die Spalten in S umsortieren:
Zuerst ein Vektor aus [mm]\operatorname{ker}(A+6I)^2[/mm] (der nicht in [mm]\operatorname{ker}(A+6I)[/mm] liegt), dann einer aus [mm]\operatorname{ker}(A+6I)[/mm] und zuletzt einer aus [mm]\operatorname{ker}(A-0I)[/mm].
Also etwa [mm]S=\begin{pmatrix}1&-2&1\\
-1&1&1\\
0&1&1\end{pmatrix}[/mm].
Übrigens: kennst du ![[]](/images/popup.gif) Kochen mit Jordan? Das hat mir damals sehr geholfen.
Lieben Gruß,
Fulla
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mal eine doofe Frage :D
aber wie komme ich auf "z.B. $ [mm] \vektor{1\\ -1\\ 0} [/mm] $ würde es auch tun... "
dann hätte ich also S= $ [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] $ ?
dann müsste doch [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 } [/mm] * [mm] \pmat{ -6 & 1 & 0 \\ 0 & -6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] * [mm] S^{-1} [/mm] = [mm] \pmat{ -4 & 4 & 0 \\ 2 & -5 & 3 \\ 2 & 1 & -3 } [/mm] sein oder ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:03 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> mal eine doofe Frage :D
> aber wie komme ich auf "z.B. [mm]\vektor{1\\
-1\\
0}[/mm] würde es
> auch tun... "
Du musst ja den [mm]\operatorname{ker}\begin{pmatrix}12&12&12\\
12&12&12\\
12&12&12\end{pmatrix}[/mm] bestimmen, bzw. eine Basis davon. Eine Möglichkeit wäre [mm]\left\langle\vektor{1\\
-1\\
0},\vektor{1\\
0\\
-1}\right\rangle[/mm], oder auch [mm]\left\langle\vektor{-\frac{4}{3}\\
\frac{1}{6}\\
\frac{7}{6}},\vektor{1\\
0\\
-1}\right\rangle[/mm]. Bei den späteren Rechnungen bietet es sich aber an, eine möglichst einfache Basis zu wählen. (Darum auch meine Frage, wie du auf die Brüche kommst)
> dann hätte ich also S= [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
> ?
Mit diesem S kommst du auf [mm]J^\prime=\pmat{0&0&0\\
0&-6&1\\
0&0&-6}[/mm]. Deinem ersten Post entnehme ich aber, dass du gerne die Form [mm] $J=\pmat{-6&0&0\\1&-6&0\\0&0&0}$ [/mm] hättest. Dazu musst die die Spalten umsortieren (s. oben).
> dann müsste doch [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
> * [mm]\pmat{ -6 & 1 & 0 \\
0 & -6 & 0 \\
0 & 0 & 0 }[/mm] * [mm]S^{-1}[/mm]
> = [mm]\pmat{ -4 & 4 & 0 \\
2 & -5 & 3 \\
2 & 1 & -3 }[/mm] sein oder
> ?
Ja, allerdings musst du dann die Form [mm] $J^\prime$ [/mm] für die Jordan-Matrix nehmen.
Lieben Gruß,
Fulla
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danke,
aber warum nehme ich dann den ersten vektor der beiden: [mm] \left\langle\vektor{1\\ -1\\ 0},\vektor{1\\ 0\\ -1}\right\rangle [/mm] ?
und nicht etwa den 2. in die Matrix S ?
also habe ich S = [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 }
[/mm]
also könnte ich genausogut :
[mm] S*J'*S^{-1} [/mm] schreiben, oder ist das dann vom Sinn her etwas anderes, außer das die Jordanblöcke anders angeordnet sind ?
gut jetzt habe ich für das Anfangswertproblem die Matrizen: [mm] SJ'S^{-1},
[/mm]
es gibt doch [mm] u(x)=S*e^{Jx}*S^{-1}*u0
[/mm]
nur was mach ich jetzt damit ?
also eig geht es ja nur um den Ausdruck [mm] e^{Jx} [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 14.05.2011 | | Autor: | Fulla |
> danke,
>
> aber warum nehme ich dann den ersten vektor der beiden:
> [mm]\left\langle\vektor{1\\
-1\\
0},\vektor{1\\
0\\
-1}\right\rangle[/mm]
> ?
> und nicht etwa den 2. in die Matrix S ?
Du kannst auch den 2. nehmen. Der darf dann aber nicht im [mm]\operatorname{ker}(A+6I)[/mm] liegen, sonst ist die Matrix S nicht mehr invertierbar. Hier kannst du aber beruhigt frei auswählen.
> also habe ich S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> also könnte ich genausogut :
>
> [mm]S*J'*S^{-1}[/mm] schreiben, oder ist das dann vom Sinn her etwas
> anderes, außer das die Jordanblöcke anders angeordnet
> sind ?
Wenn ihr die JNF so definiert habt, dass die Kästchen der größe nach - von groß nach klein - und/oder die 1er unterhalb der Hauptdiagonalen liegen sollen, muss du am S noch etwas basteln.
Ansonsten kannst du dein S auch so lassen. Der 'Sinn' ist ja, eine Matrix zu bekommen, die nur Einträge auf der Hauptdiagonalen (die Eigenwerte) und höchstens noch 1er auf einer Nebendiagonalen hat.
> gut jetzt habe ich für das Anfangswertproblem die
> Matrizen: [mm]SJ'S^{-1},[/mm]
> es gibt doch [mm]u(x)=S*e^{Jx}*S^{-1}*u0[/mm]
> nur was mach ich jetzt damit ?
> also eig geht es ja nur um den Ausdruck [mm]e^{Jx}[/mm] ?
Lieben Gruß,
Fulla
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> > danke,
> >
> > aber warum nehme ich dann den ersten vektor der beiden:
> > [mm]\left\langle\vektor{1\\
-1\\
0},\vektor{1\\
0\\
-1}\right\rangle[/mm]
> > ?
> > und nicht etwa den 2. in die Matrix S ?
>
> Du kannst auch den 2. nehmen. Der darf dann aber nicht im
> [mm]\operatorname{ker}(A+6I)[/mm] liegen, sonst ist die Matrix S
> nicht mehr invertierbar. Hier kannst du aber beruhigt frei
> auswählen.
> > also habe ich S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> >
> > also könnte ich genausogut :
> >
> > [mm]S*J'*S^{-1}[/mm] schreiben, oder ist das dann vom Sinn her etwas
> > anderes, außer das die Jordanblöcke anders angeordnet
> > sind ?
>
> Wenn ihr die JNF so definiert habt, dass die Kästchen der
> größe nach - von groß nach klein - und/oder die 1er
> unterhalb der Hauptdiagonalen liegen sollen, muss du am S
> noch etwas basteln.
> Ansonsten kannst du dein S auch so lassen. Der 'Sinn' ist
> ja, eine Matrix zu bekommen, die nur Einträge auf der
> Hauptdiagonalen (die Eigenwerte) und höchstens noch 1er
> auf einer Nebendiagonalen hat.
>
Vielen Dank. Ich habe mich eh etwas verschrieben, die 1en sollen oberhalb der Diagonalen sein, ansonsten haben wir nix definiert,
also kann ich J und S so lassen :) Vielen Dank !
gut jetzt habe ich für das Anfangswertproblem die
Matrizen: [mm]SJ'S^{-1},[/mm]
es gibt doch [mm]u(x)=S*e^{Jx}*S^{-1}*u0[/mm]
nur was mach ich jetzt damit ?
also eig geht es ja nur um den Ausdruck [mm]e^{Jx}[/mm] ?
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Hallo AlbertKeinstein,
> >
> > > danke,
> > >
> > > aber warum nehme ich dann den ersten vektor der beiden:
> > > [mm]\left\langle\vektor{1\\
-1\\
0},\vektor{1\\
0\\
-1}\right\rangle[/mm]
> > > ?
> > > und nicht etwa den 2. in die Matrix S ?
> >
> > Du kannst auch den 2. nehmen. Der darf dann aber nicht im
> > [mm]\operatorname{ker}(A+6I)[/mm] liegen, sonst ist die Matrix S
> > nicht mehr invertierbar. Hier kannst du aber beruhigt frei
> > auswählen.
> > > also habe ich S = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\
1 & 1 & -1 \\
1 & 1 & 0 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > also könnte ich genausogut :
> > >
> > > [mm]S*J'*S^{-1}[/mm] schreiben, oder ist das dann vom Sinn her etwas
> > > anderes, außer das die Jordanblöcke anders angeordnet
> > > sind ?
> >
> > Wenn ihr die JNF so definiert habt, dass die Kästchen der
> > größe nach - von groß nach klein - und/oder die 1er
> > unterhalb der Hauptdiagonalen liegen sollen, muss du am S
> > noch etwas basteln.
> > Ansonsten kannst du dein S auch so lassen. Der 'Sinn' ist
> > ja, eine Matrix zu bekommen, die nur Einträge auf der
> > Hauptdiagonalen (die Eigenwerte) und höchstens noch 1er
> > auf einer Nebendiagonalen hat.
> >
>
> Vielen Dank. Ich habe mich eh etwas verschrieben, die 1en
> sollen oberhalb der Diagonalen sein, ansonsten haben wir
> nix definiert,
> also kann ich J und S so lassen :) Vielen Dank !
>
>
> gut jetzt habe ich für das Anfangswertproblem die
> Matrizen: [mm]SJ'S^{-1},[/mm]
> es gibt doch [mm]u(x)=S*e^{Jx}*S^{-1}*u0[/mm]
> nur was mach ich jetzt damit ?
> also eig geht es ja nur um den Ausdruck [mm]e^{Jx}[/mm] ?
>
Das DGL-System [mm]u'=Au, \ u \in \IR^{3}[/mm] geht
durch die Transformation [mm]u=Sv, \ v \in \IR^{3}[/mm] über in das neue DGL-System
[mm]v'=\left(S^{-1}AS\right)v[/mm]
Setzen wir [mm]J:=\left(S^{-1}AS\right)[/mm],
dann ist [mm]e^{Jx}[/mm] ein Fundmantalsystem
der transformierten DGL.
(J ist hier eine Matrix in Jordan-Normalform)
Demnach ist [mm]Se^{Jx}[/mm] ein FUndamentalsystem
der ursprünglichen DGL.
Daraus ergibt sich dann die Lösung des Anfangswertproblems.
Gruss
MathePower
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Hallo AlbertKeinstein,
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> gut jetzt habe ich für das Anfangswertproblem die
> Matrizen: [mm]SJ'S^{-1},[/mm]
> es gibt doch [mm]u(x)=S*e^{Jx}*S^{-1}*u0[/mm]
> nur was mach ich jetzt damit ?
> also eig geht es ja nur um den Ausdruck [mm]e^{Jx}[/mm] ?
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Gruss
MathePower
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