Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Mi 16.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
1. $ y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x), y(0)=0 $
2. $ [mm] y'(x)=xy(x)+3x^3*e^{-x^2/2}, y(0)=\pi [/mm] $ |
Hallo!
Bin an die 1. mittels Picard-Iteration rangegangen..
für die dritte Iteration erhalte ich damit:
[mm] y_3=a^2b*cos(x)+ab*sin(x)-b*cos(x)+\bruch{1}{2}a^2bx^2+abx-a^2b+b
[/mm]
an der stelle weiss ich nicht so recht weiter was ich damit anfangen soll..
das ganze konvergiert ja gegen die Lösung, aber wie erhalte ich die jetzt explizit?
danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:32 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Lösen Sie die folgenden Anfangswertprobleme:
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> 1. [mm]y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x), y(0)=0[/mm]
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> 2. [mm]y'(x)=xy(x)+3x^3*e^{-x^2/2}, y(0)=\pi[/mm]
> Hallo!
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> Bin an die 1. mittels Picard-Iteration rangegangen.. #
Wozu denn das ?
[mm]y'(x)=-a*y(x)+b*sin(x)[/mm] ist eine einfache inhommogene lineare DGL.
Bestimme die allgemeine Lösung. Dann suchst Du Dir die Lösung mit y(0)=0 heraus
FRED
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> für die dritte Iteration erhalte ich damit:
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> [mm]y_3=a^2b*cos(x)+ab*sin(x)-b*cos(x)+\bruch{1}{2}a^2bx^2+abx-a^2b+b[/mm]
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> an der stelle weiss ich nicht so recht weiter was ich damit
> anfangen soll..
> das ganze konvergiert ja gegen die Lösung, aber wie
> erhalte ich die jetzt explizit?
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> danke schonmal!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 16.11.2011 | | Autor: | chesn |
Danke erstmal.. habe ein paar Probleme mit der Bedingung y(0)=0
Ich schreibe dazu mal meinen Rechenweg auf...
Zuerst bestimme ich eine homogene Lösung:
$ y'=-ay $
[mm] \bruch{dy}{dx}=-ay
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{1}{y}dy}=\integral{-a dx}
[/mm]
$ ln(y)=-ax+C $
$ [mm] y_h=exp(-ax+C)=exp(C)*exp(-ax) [/mm] $ ist also meine homogene Lösung.
Jetzt suche ich die partikuläre Lösung, dazu schreibe ich exp(C) als C(x):
[mm] y_p=C(x)*exp(-ax) [/mm] und setze [mm] y_p [/mm] in die inhomogene Gleichung ein:
$ (C(x)*exp(-ax))'+a*C(x)*exp(-ax)=b*sin(x) $
[mm] C'(x)=\bruch{b*sin(x)}{exp(-ax)}
[/mm]
[mm] C(x)=\bruch{b*exp(ax)*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2}
[/mm]
Also ist [mm] y_p=\bruch{b*exp(ax)*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2}*exp(-ax)=\bruch{b*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2}
[/mm]
und
[mm] y_a=y_h+y_p=A*exp(-ax)+\bruch{b*(-cos(x)+a*sin(x))}{1+a^2} [/mm] mit A:=exp(C) ist die allgemeine Lösung.
zumdinest das dürfte soweit stimmen.. an welcher stelle sollte hier y(0)=0 einfließen? Oder muss ich die allgemeine Lösung jetzt so "umbasteln" damit ebendas erfüllt ist?
vielen dank schonmal!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Mi 16.11.2011 | | Autor: | fred97 |
bestimme A so , dass y(0)=0 ist
FRED
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