Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:06 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
| Aufgabe | Für die Differentialgleichung [mm] u'(X)=\wurzel{1-u(x)^2)} [/mm] bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u: [mm] [0,\infty[ \to \IR [/mm] zu den Anfangswerten
a) u(0) = 1
b) u(0) = -1
(Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen von u'. Eine Skizze des Graphen von u kann hilfreich sein.) |
Hallo,
leider weiß ich hier nicht wie ich das lösen soll. Trennung der Variablen ist ja eher schlecht und Substition irgendwie auch...
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Für die Differentialgleichung [mm]u'(X)=\wurzel{1-u(x)^2)}[/mm]
> bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u: [mm][0,\infty[ \to \IR[/mm]
> zu den Anfangswerten
>
> a) u(0) = 1
> b) u(0) = -1
>
> (Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen
> grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen
> von u'. Eine Skizze des Graphen von u kann hilfreich
> sein.)
> Hallo,
>
> leider weiß ich hier nicht wie ich das lösen soll.
> Trennung der Variablen ist ja eher schlecht und
was spricht gegen TdV? Das funktioniert einwandfrei.
> Substition
> irgendwie auch...
>
> Hat jemand eine Idee?
Man kann diese DGL sogar durch 'scharfes Hinsehen' lösen.
>
> Vielen Dank!
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Di 26.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > Für die Differentialgleichung [mm]u'(X)=\wurzel{1-u(x)^2)}[/mm]
> > bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u: [mm][0,\infty[ \to \IR[/mm]
> > zu den Anfangswerten
> >
> > a) u(0) = 1
> > b) u(0) = -1
> >
> > (Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen
> > grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen
> > von u'. Eine Skizze des Graphen von u kann hilfreich
> > sein.)
> > Hallo,
> >
> > leider weiß ich hier nicht wie ich das lösen soll.
> > Trennung der Variablen ist ja eher schlecht und
>
> was spricht gegen TdV? Das funktioniert einwandfrei.
>
> > Substition
> > irgendwie auch...
> >
> > Hat jemand eine Idee?
>
> Man kann diese DGL sogar durch 'scharfes Hinsehen' lösen.
>
> >
> > Vielen Dank!
>
> Gruß,
>
> notinX
Hallo notinx,
Mit TDV bekommt man aber nicht die Lösung u(x)=1 (beim Anfangswert u(0)=1)
Ähnliches gilt bei u(0)=-1
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > Hallo,
> >
> > > Für die Differentialgleichung [mm]u'(X)=\wurzel{1-u(x)^2)}[/mm]
> > > bestimmen Sie jeweils alle Lösungen u: [mm][0,\infty[ \to \IR[/mm]
> > > zu den Anfangswerten
> > >
> > > a) u(0) = 1
> > > b) u(0) = -1
> > >
> > > (Hinweis: Auch wenn es nicht so aussieht, sind beide Fragen
> > > grundverschieden. Achten Sie unbedingt auf das Vorzeichen
> > > von u'. Eine Skizze des Graphen von u kann hilfreich
> > > sein.)
> > > Hallo,
> > >
> > > leider weiß ich hier nicht wie ich das lösen soll.
> > > Trennung der Variablen ist ja eher schlecht und
> >
> > was spricht gegen TdV? Das funktioniert einwandfrei.
> >
> > > Substition
> > > irgendwie auch...
> > >
> > > Hat jemand eine Idee?
> >
> > Man kann diese DGL sogar durch 'scharfes Hinsehen' lösen.
> >
> > >
> > > Vielen Dank!
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
>
> Hallo notinx,
>
> Mit TDV bekommt man aber nicht die Lösung u(x)=1 (beim
> Anfangswert u(0)=1)
>
> Ähnliches gilt bei u(0)=-1
>
> FRED
Ok "scharfes Hinsehen" hilft tatsächlich..
Lösung für a) wäre dann u(x) = cos(x)
b) funktioniert so aber nicht.. wie gehe ich das denn an?
Danke!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:11 Di 26.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
die fkt u(x)=-1 ist eine Lösung der Dgl mit Anfangswert -1. du kannst auf der Geraden ein beliebiges Stück laufen, und dann [mm] u(x_0)=-1 [/mm] einsetzen .und mit der Lösung weiter.
u(x)=1 ist ebenso Lösung wie geht es da?
(die 2 Lösg verliert man beim dividieren durch die wurzel
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
Sry, meine Lösung aus dem vorherigen Post stimmt nicht.
Also ist nicht die Lösung von b) u(x) = -cos(x), wegen -cos(0)= -1 und [mm] -cos'(x)=sin(x)=\wurzel{1-(-cos(x))^2}
[/mm]
bei a) gehts dann nicht so einfach oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
hat sich erledigt!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Di 26.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
für u(0)=1 gibt es für x>0 nur die Lösung u=1, die Lösung u=sin(x+c) sin(c)=1 [mm] c=\pi/2 [/mm] kann man wegen [mm] U'\ge [/mm] 0 nicht nehmen, denn die Ableitung für x>0 wäre dann negativ.
anders bei u(0)=-1, [mm] c=-\pi/2 [/mm] oder [mm] 3\pi/2
[/mm]
u' grösser Null bis u=1, danach geht es weiter auf u=1
oder auf u=-1 bis x=a a belibig dort u(a)=-1, [mm] c=\pi/2-a [/mm] woeder bis zur Linie x=1 also unendlich viele Lösungen für diesen Anfangswert.
Siehe einige der lsgzu u(0)=-1
[Dateianhang nicht öffentlich]
gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:28 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
Ok! Dankeschön. Dann war das wohl doch noch nicht klar... und der Hinweis ergibt Sinn.. Frage mich nur, ob man im Examen da drauf kommt..
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:06 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
Hi FRED,
>
>
> Hallo notinx,
>
> Mit TDV bekommt man aber nicht die Lösung u(x)=1 (beim
> Anfangswert u(0)=1)
>
> Ähnliches gilt bei u(0)=-1
>
> FRED
wieso nicht? Ich seh da kein Problem.
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:14 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Hi FRED,
>
> >
> >
> > Hallo notinx,
> >
> > Mit TDV bekommt man aber nicht die Lösung u(x)=1 (beim
> > Anfangswert u(0)=1)
> >
> > Ähnliches gilt bei u(0)=-1
> >
> > FRED
>
> wieso nicht? Ich seh da kein Problem.
Ach ja, ich sehe das Problem, habe mich verlesen 
Danke für den Hinweis.
>
> Gruß,
>
> notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > Hi FRED,
> >
> > >
> > >
> > > Hallo notinx,
> > >
> > > Mit TDV bekommt man aber nicht die Lösung u(x)=1 (beim
> > > Anfangswert u(0)=1)
> > >
> > > Ähnliches gilt bei u(0)=-1
> > >
> > > FRED
> >
> > wieso nicht? Ich seh da kein Problem.
>
> Ach ja, ich sehe das Problem, habe mich verlesen
> Danke für den Hinweis.
>
Ich würde das Problem auch gerne sehen...
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:36 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Ich würde das Problem auch gerne sehen...
$u(x)=1$ löst die DGL - kommst Du mit TdV auf diese Lösung?
>
> Danke
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > Ich würde das Problem auch gerne sehen...
>
> [mm]u(x)=1[/mm] löst die DGL - kommst Du mit TdV auf diese
> Lösung?
Ehrlich gesagt tu ich mir hier mit TdV sehr schwer... ist dann u(x) = 1 die einzige Lösung für a) und wenn ja wie zeige ich das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> > > Ich würde das Problem auch gerne sehen...
> >
> > [mm]u(x)=1[/mm] löst die DGL - kommst Du mit TdV auf diese
> > Lösung?
>
> Ehrlich gesagt tu ich mir hier mit TdV sehr schwer... ist
Die rechte Seite der DGL hängt doch nur von u ab - da ist die Trennung einfach:
[mm] $\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1-u^{2}}\Rightarrow\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\mathrm{d}x$
[/mm]
> dann u(x) = 1 die einzige Lösung für a) und wenn ja wie
Nein, das ist nicht die einzige. Die andere bekommst Du mit TdV.
> zeige ich das?
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > > > Ich würde das Problem auch gerne sehen...
> > >
> > > [mm]u(x)=1[/mm] löst die DGL - kommst Du mit TdV auf diese
> > > Lösung?
> >
> > Ehrlich gesagt tu ich mir hier mit TdV sehr schwer... ist
>
> Die rechte Seite der DGL hängt doch nur von u ab - da ist
> die Trennung einfach:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\sqrt{1-u^{2}}\Rightarrow\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\mathrm{d}x[/mm]
>
> > dann u(x) = 1 die einzige Lösung für a) und wenn ja wie
>
> Nein, das ist nicht die einzige. Die andere bekommst Du mit
> TdV.
>
> > zeige ich das?
>
> Gruß,
>
> notinX
Ok, also wenn ich hier TdV benutze komme ich auf die Lösung u(x) = sin(x) + 1, das löst jetzt zwar mein anfangswertproblem u(0) = 1 aber erfüllt nicht u'(x) = [mm] \wurzel{1-u(x)^2} [/mm] denn [mm] \wurzel{1-(sin(x)+1)^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1-sin^2(x)-2sin(x) -1} [/mm] = [mm] \wurzel{sin^2(x)-2sin} \neq [/mm] cos(x)? was habe ich hier falsch gemacht?
Die Lösung zu b) also zum Anfangswert u(0)=-1 -> u(x)= -cos(x) stimmt oder?
Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> Ok, also wenn ich hier TdV benutze komme ich auf die
> Lösung u(x) = sin(x) + 1, das löst jetzt zwar mein
Wie ist denn das passiert? Das stimmt nicht.
> anfangswertproblem u(0) = 1 aber erfüllt nicht u'(x) =
> [mm]\wurzel{1-u(x)^2}[/mm] denn [mm]\wurzel{1-(sin(x)+1)^2}[/mm] =
> [mm]\wurzel{1-sin^2(x)-2sin(x) -1}[/mm] = [mm]\wurzel{sin^2(x)-2sin} \neq[/mm]
> cos(x)? was habe ich hier falsch gemacht?
Zeig mal Deinen Rechenweg.
>
> Die Lösung zu b) also zum Anfangswert u(0)=-1 -> u(x)=
> -cos(x) stimmt oder?
Die stimmt, aber das ist nur eine von unendlich vielen Lösungen.
>
> Grüße
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > Ok, also wenn ich hier TdV benutze komme ich auf die
> > Lösung u(x) = sin(x) + 1, das löst jetzt zwar mein
>
> Wie ist denn das passiert? Das stimmt nicht.
>
> > anfangswertproblem u(0) = 1 aber erfüllt nicht u'(x) =
> > [mm]\wurzel{1-u(x)^2}[/mm] denn [mm]\wurzel{1-(sin(x)+1)^2}[/mm] =
> > [mm]\wurzel{1-sin^2(x)-2sin(x) -1}[/mm] = [mm]\wurzel{sin^2(x)-2sin} \neq[/mm]
> > cos(x)? was habe ich hier falsch gemacht?
>
> Zeig mal Deinen Rechenweg.
Ok:
[mm] \frac{du}{\wurzel{1-u^2}}=dx \Rightarrow \integral_{1}^{u}\frac{1}{\wurzel{1-u^2}}du [/mm] = [mm] \integral_{0}^{x}dx \Rightarrow [/mm] arcsin(u) - arcsin(1) = x [mm] \Rightarrow [/mm] u - 1 = sin(x) [mm] \Rightarrow [/mm] u = sin(x) + 1
> >
> > Die Lösung zu b) also zum Anfangswert u(0)=-1 -> u(x)=
> > -cos(x) stimmt oder?
>
> Die stimmt, aber das ist nur eine von unendlich vielen
> Lösungen.
Wie schauen die "anderen" aus?
> >
> > Grüße
>
> Gruß,
>
> notinX
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:17 Di 26.06.2012 | | Autor: | notinX |
> > > Ok, also wenn ich hier TdV benutze komme ich auf die
> > > Lösung u(x) = sin(x) + 1, das löst jetzt zwar mein
> >
> > Wie ist denn das passiert? Das stimmt nicht.
> >
> > > anfangswertproblem u(0) = 1 aber erfüllt nicht u'(x) =
> > > [mm]\wurzel{1-u(x)^2}[/mm] denn [mm]\wurzel{1-(sin(x)+1)^2}[/mm] =
> > > [mm]\wurzel{1-sin^2(x)-2sin(x) -1}[/mm] = [mm]\wurzel{sin^2(x)-2sin} \neq[/mm]
> > > cos(x)? was habe ich hier falsch gemacht?
> >
> > Zeig mal Deinen Rechenweg.
>
> Ok:
> [mm]\frac{du}{\wurzel{1-u^2}}=dx \Rightarrow \integral_{1}^{u}\frac{1}{\wurzel{1-u^2}}du[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{x}dx \Rightarrow[/mm] arcsin(u) - arcsin(1) = x
> [mm]\Rightarrow[/mm] u - 1 = sin(x) [mm]\Rightarrow[/mm] u = sin(x) + 1
Da ist irgendwas ganz schön faul. Der arcsin von 1 ist [mm] $\frac{\pi}{2}$, [/mm] der müsste ja schonmal irgendwo bei Dir auftauchen.
Ich finde es mit unbestimmter Integration leichter:
[mm] $\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\mathrm{d}x\Rightarrow sin^{-1}(u)=x+c\Rightarrow u(x)=\sin(x+c)$
[/mm]
>
> > >
> > > Die Lösung zu b) also zum Anfangswert u(0)=-1 -> u(x)=
> > > -cos(x) stimmt oder?
> >
> > Die stimmt, aber das ist nur eine von unendlich vielen
> > Lösungen.
>
>
> Wie schauen die "anderen" aus?
Die allgemeine Lösung hast Du jetzt (siehe oben). Um jetzt alle Lösungen mit der Anfangsbedingung b) zu bestimmen Löse die Gleichung:
[mm] $\sin [/mm] c=-1$
(die hat nicht nur eine Lösung  )
>
> > >
> > > Grüße
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Danke
>
Gruß,
notinX
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Di 26.06.2012 | | Autor: | teo |
> > > > Ok, also wenn ich hier TdV benutze komme ich auf die
> > > > Lösung u(x) = sin(x) + 1, das löst jetzt zwar mein
> > >
> > > Wie ist denn das passiert? Das stimmt nicht.
> > >
> > > > anfangswertproblem u(0) = 1 aber erfüllt nicht u'(x) =
> > > > [mm]\wurzel{1-u(x)^2}[/mm] denn [mm]\wurzel{1-(sin(x)+1)^2}[/mm] =
> > > > [mm]\wurzel{1-sin^2(x)-2sin(x) -1}[/mm] = [mm]\wurzel{sin^2(x)-2sin} \neq[/mm]
> > > > cos(x)? was habe ich hier falsch gemacht?
> > >
> > > Zeig mal Deinen Rechenweg.
> >
> > Ok:
> > [mm]\frac{du}{\wurzel{1-u^2}}=dx \Rightarrow \integral_{1}^{u}\frac{1}{\wurzel{1-u^2}}du[/mm]
> > = [mm]\integral_{0}^{x}dx \Rightarrow[/mm] arcsin(u) - arcsin(1) = x
> > [mm]\Rightarrow[/mm] u - 1 = sin(x) [mm]\Rightarrow[/mm] u = sin(x) + 1
>
> Da ist irgendwas ganz schön faul. Der arcsin von 1 ist
> [mm]\frac{\pi}{2}[/mm], der müsste ja schonmal irgendwo bei Dir
> auftauchen.
Ja ich weiß was hier faul ist (ziemlich blöd von mir): sin(x+y) [mm] \neq [/mm] sin(x) + sin(y) aber genau das habe ich gemacht... sry
> Ich finde es mit unbestimmter Integration leichter:
> [mm]\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^{2}}}=\mathrm{d}x\Rightarrow sin^{-1}(u)=x+c\Rightarrow u(x)=\sin(x+c)[/mm]
>
> >
> > > >
> > > > Die Lösung zu b) also zum Anfangswert u(0)=-1 -> u(x)=
> > > > -cos(x) stimmt oder?
> > >
> > > Die stimmt, aber das ist nur eine von unendlich vielen
Vielen Dank! Ich hab das mit dem uneigentlichen Integral irgendwie net im Kopf gehabt, aber damit ists dann eingängig! Vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße
> > > Lösungen.
> >
> >
> > Wie schauen die "anderen" aus?
>
> Die allgemeine Lösung hast Du jetzt (siehe oben). Um jetzt
> alle Lösungen mit der Anfangsbedingung b) zu bestimmen
> Löse die Gleichung:
> [mm]\sin c=-1[/mm]
> (die hat nicht nur eine Lösung )
>
> >
> > > >
> > > > Grüße
> > >
> > > Gruß,
> > >
> > > notinX
> >
> > Danke
> >
>
> Gruß,
>
> notinX
|
|
|
|
