Anfangswertproblem < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:41 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
| Aufgabe | Es sei y:(-1,1) -> [mm] \IR [/mm] die FUnktion, deren Graph der obere Halbkreis mit Zentrum im Ursprung und Radius 1 ist.
a) Finden Sie eine Differentialgleichung die von y erfüllt wird
b) Geben Sie einen Anfangswertproblem an, dessen Lösung y ist |
Guten Morgen,
bei dieser Aufgabe habe ich überhaupt gar keine Ahnung, wie ich ran gehen soll. Kann mir jemand einen Denkanstoss geben?
Lg Laura
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:15 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Guten Morgen Laura,
differenziere die Gleichung [mm] $y^2 [/mm] + [mm] x^2 [/mm] = 1$.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:44 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo Wolfgang,
vielen dank für deinen Hinweis.
Leider blick ich immer noch nicht ganz durch (schaem).
>
> differenziere die Gleichung [mm]y^2 + x^2 = 1[/mm].
>
[mm] y^2+x^2=1
[/mm]
[mm] y^2+x^2-1=0
[/mm]
ableitung nach y
2y=0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Wolfgang,
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>
> vielen dank für deinen Hinweis.
>
> Leider blick ich immer noch nicht ganz durch (schaem).
>
> >
> > differenziere die Gleichung [mm]y^2 + x^2 = 1[/mm].
> >
>
> [mm]y^2+x^2=1[/mm]
>
> [mm]y^2+x^2-1=0[/mm]
>
> ableitung nach y
>
> 2y=0
Nein, Du mußt y als Funktion von x auffassen, also y=y(x)
Dann [mm] 0=x^2+y(x)^2-1.
[/mm]
Differenziere nach x.
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:09 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
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> Nein, Du mußt y als Funktion von x auffassen, also y=y(x)
>
> Dann [mm]0=x^2+y(x)^2-1.[/mm]
>
> Differenziere nach x.
[mm] y(x)=(-x^2+1)^{\bruch{1}{2}}
[/mm]
[mm] y'(x)=\bruch{1}{2}(-x^2+1)(-2x)
[/mm]
[mm] =x^3-1
[/mm]
und wie Prüfe ich jetzt, ob das für y erfüllt ist?
Ich habe ja gegeben y:(-1,1) soll ich das einfach einsetzen:
[mm] y'(1)=1^3-1=0
[/mm]
[mm] y'(-1)=(-1)^3-1=-2
[/mm]
ne ich glaub das kann es nicht sein 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:21 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
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> >
> > Nein, Du mußt y als Funktion von x auffassen, also y=y(x)
> >
> > Dann [mm]0=x^2+y(x)^2-1.[/mm]
> >
> > Differenziere nach x.
>
>
> [mm]y(x)=(-x^2+1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]y'(x)=\bruch{1}{2}(-x^2+1)(-2x)[/mm]
Das stimmt nicht
FRED
>
> [mm]=x^3-1[/mm]
>
> und wie Prüfe ich jetzt, ob das für y erfüllt ist?
>
> Ich habe ja gegeben y:(-1,1) soll ich das einfach
> einsetzen:
>
> [mm]y'(1)=1^3-1=0[/mm]
>
> [mm]y'(-1)=(-1)^3-1=-2[/mm]
>
> ne ich glaub das kann es nicht sein
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
>
> >
> > Nein, Du mußt y als Funktion von x auffassen, also y=y(x)
> >
> > Dann [mm]0=x^2+y(x)^2-1.[/mm]
> >
> > Differenziere nach x.
>
>
> [mm]y(x)=(-x^2+1)^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> [mm]y'(x)=\bruch{1}{2}(-x^2+1)(-2x)[/mm]
>
> [mm]=x^3-1[/mm]
Nein, differenziere nach $x$, bevor Du nach y auflöst!
Also [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y(x)^2 [/mm] = 1$ auf beiden Seiten nach $x$ ableiten und schon steht die DGL da.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
>
> Nein, differenziere nach [mm]x[/mm], bevor Du nach y auflöst!
>
> Also [mm]x^2 + y(x)^2 = 1[/mm] auf beiden Seiten nach [mm]x[/mm] ableiten und
> schon steht die DGL da.
>
wie mach ich dass dann mit [mm] y(x)^2? [/mm] Bin gerade etwas verwirrt sry.
Links hab ich ja nur 0 stehen wenn ich ableite, aber rechts bin ich unsicher
2x=0
kann ja nicht sein. Dann waere [mm] y(x)^2 [/mm] einfach nur eine beliebige Variable.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:38 So 04.11.2012 | | Autor: | M.Rex |
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> >
> > Nein, differenziere nach [mm]x[/mm], bevor Du nach y auflöst!
> >
> > Also [mm]x^2 + y(x)^2 = 1[/mm] auf beiden Seiten nach [mm]x[/mm] ableiten und
> > schon steht die DGL da.
> >
>
>
> wie mach ich dass dann mit [mm]y(x)^2?[/mm] Bin gerade etwas
> verwirrt sry.
>
> Links hab ich ja nur 0 stehen wenn ich ableite,
Korrekt.
> aber rechts
> bin ich unsicher
>
> 2x=0
Nein.
>
> kann ja nicht sein. Dann waere [mm]y(x)^2[/mm] einfach nur eine
> beliebige Variable.
>
[mm] (y(x))^{2} [/mm] kannst du per Kettenregel ableiten, oder, wenn du umschreibst, also [mm] $(y(x))^{2}=y(x)\cdot [/mm] y(x)$, kannst du die Produktregel anwenden.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Tippfehler...super danke. Dann schau ich mir mal wegen der b erst nochmal paar Sachen an.
Vielen dank schonmal bis hierhin für eure Hilfe und insbesondere für euer Geduld...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
muss ich für die b) alle Lösungen der Differentialgleichung 2x+2y(x)y'(x)=0 bestimmen?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 So 04.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst die allgemeine Lösung nur vielleicht hinschreiben, eigentlich st nur nach den möglichen Anfangsbedingungen gefragt, also y(0)=? die Lüsung kennst du ja zu der Anfangsvedingung schon, die allgemeine Lüsung dolltest du auch kennen , da [mm] x^2+y^2=c [/mm] ja dieselbe Dgl hat!
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> muss ich für die b) alle Lösungen der
> Differentialgleichung 2x+2y(x)y'(x)=0 bestimmen?
Fände ich schön und lehrreich.
Kennst Du "Trennung der Variablen"? Hübsche Anwendung der Leibnizschen Differentialschreibweise:
$x = [mm] -y*\frac [/mm] {dy} {dx}$
$xdx = [mm] -ydy\,$
[/mm]
[mm] $\int [/mm] x dx = [mm] -\int [/mm] y dy$
$ [mm] \frac {x^2} [/mm] 2 = - [mm] \frac {y^2} [/mm] 2 + c$
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 So 04.11.2012 | | Autor: | Laura87 |
Hallo,
mit Trennung der Variablen haben wir in der ersten und bis jetzt letzten Vorlesung angefangen. Der Prof. meinte, der Rest kommt in der Übung. Das hat er wahrscheinlich gemeint war es das schon bei der b) oder wie muss ich fortfahren?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:05 So 04.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Du sollst die Dgl nicht lösen ! Nir ein AWP sollst Du formulieren ! leduart hats schon gesagt:
2x+2y(x)y'(x)=0, y(0)=0
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:46 So 04.11.2012 | | Autor: | Helbig |
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> >
> > Nein, differenziere nach [mm]x[/mm], bevor Du nach y auflöst!
> >
> > Also [mm]x^2 + y(x)^2 = 1[/mm] auf beiden Seiten nach [mm]x[/mm] ableiten und
> > schon steht die DGL da.
> >
>
>
> wie mach ich dass dann mit [mm]y(x)^2?[/mm] Bin gerade etwas
> verwirrt sry.
>
> Links hab ich ja nur 0 stehen wenn ich ableite, aber rechts
> bin ich unsicher
Wieso links, rechts hast Du 0 stehen, weil Du die konstante Funktion 1 ableitest.
Mit "Gleichung nach $x$ ableiten" meine ich folgendes:
[mm] $\frac [/mm] d {dx} [mm] \left(x^2 + y(x)^2\right) [/mm] = [mm] \frac [/mm] d {dx} 1$
Gruß,
Wolfgang
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