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Hallo!
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe>
A∈R3,3 und y0−→∈R3 sind gegeben. Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie A diagonalisieren. sprich bestimmen Sie y(t), D, S, S^(-1)
A = [mm] \pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 }
[/mm]
y0 = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 }
[/mm]
Was ich bisher habe:
1. Eigenwerte bestimmen:
[mm] \lambda [/mm] = 0 ; [mm] \lambda [/mm] = -1 : [mm] \lambda [/mm] = 2
[mm] da(-1-\lambda)((-6-\lambda)(8-\lambda)+48) [/mm] = [mm] \lambda (-1-\lambda)(\lambda-2)
[/mm]
2. Eigenvektoren bestimmen:
[mm] \lambda [/mm] = 0
[mm] \pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 } [/mm] mit Gauss ergibt das jedoch [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }, [/mm] also keine Nichtkopfvariablen und somit ja auch keinen Eigenvektor.....aber das kann doch eigentlich nicht sein?!
[mm] \lambda [/mm] = -1
[mm] \pmat{ -5 & 0 & 4 \\ 14 & 0 & 10 \\ -12 & 0 & 9 } [/mm] mit Gauss ergibt das den EV = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
[mm] \lambda [/mm] = 2
[mm] \pmat{ -8 & 0 & 4 \\ 14 & -3 & 10 \\ -12 & 0 & 6 } [/mm] ergibt dann die EVen = [mm] \vektor{-5/7 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{3/14 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Nun muesste ich noch S, D und S-1 sowie y(t) bestimmen.
D = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }
[/mm]
S waere ja zusammen gestellt aus den EVen, ich habe nun ja auch 3 EVen, allerdings habe ich wie gesagt bei EW = 0 ueberhaupt keinen EV herausbekommen und bei EW = 2 dafuer 2......
S-1 ist auch kein Problem zu bestimmen, sobald S da ist.
Und dann waere da noch y(t) - an sich ist dieser Vektor ja auch einfach zu bestimmen, sofern ich wuesste, dass meine EWen und EVen richtig sind.
Waere sehr dankbar, wenn jemand kurz die EWen ueberpruefen koennte bzw. den EV zu EW = 0
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Hallo onkelfreddy,
> Hallo!
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> Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe>
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> A∈R3,3 und y0−→∈R3 sind gegeben. Bestimmen Sie die
> Lösung des Anfangswertproblems, indem Sie A
> diagonalisieren. sprich bestimmen Sie y(t), D, S, S^(-1)
>
>
> A = [mm]\pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 }[/mm]
>
> y0 = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 2 }[/mm]
>
>
> Was ich bisher habe:
>
> 1. Eigenwerte bestimmen:
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0 ; [mm]\lambda[/mm] = -1 : [mm]\lambda[/mm] = 2
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]da(-1-\lambda)((-6-\lambda)(8-\lambda)+48)[/mm] = [mm]\lambda (-1-\lambda)(\lambda-2)[/mm]
>
> 2. Eigenvektoren bestimmen:
>
> [mm]\lambda[/mm] = 0
>
> [mm]\pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 }[/mm] mit
> Gauss ergibt das jedoch [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 },[/mm]
> also keine Nichtkopfvariablen und somit ja auch keinen
> Eigenvektor.....aber das kann doch eigentlich nicht sein?!
>
Bei Anwendung des Gauss'schen Eliminationsverfahrens
ist Dir ein Fehler unterlaufen.
> [mm]\lambda[/mm] = -1
>
> [mm]\pmat{ -5 & 0 & 4 \\ 14 & 0 & 10 \\ -12 & 0 & 9 }[/mm] mit
> Gauss ergibt das den EV = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> [mm]\lambda[/mm] = 2
>
> [mm]\pmat{ -8 & 0 & 4 \\ 14 & -3 & 10 \\ -12 & 0 & 6 }[/mm] ergibt
> dann die EVen = [mm]\vektor{-5/7 \\ 0 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{3/14 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
Auch hier ist Dir ein Fehler unterlaufen.
>
> Nun muesste ich noch S, D und S-1 sowie y(t) bestimmen.
>
> D = [mm]\pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 }[/mm]
>
> S waere ja zusammen gestellt aus den EVen, ich habe nun ja
> auch 3 EVen, allerdings habe ich wie gesagt bei EW = 0
> ueberhaupt keinen EV herausbekommen und bei EW = 2 dafuer
> 2......
>
> S-1 ist auch kein Problem zu bestimmen, sobald S da ist.
>
> Und dann waere da noch y(t) - an sich ist dieser Vektor ja
> auch einfach zu bestimmen, sofern ich wuesste, dass meine
> EWen und EVen richtig sind.
>
>
> Waere sehr dankbar, wenn jemand kurz die EWen ueberpruefen
> koennte bzw. den EV zu EW = 0
>
Poste zu den Eigenwerten 0 und 2 jeweils Deine
Rechenschritte zur Ermittlung der Eigenvektoren.
Gruss
MathePower
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Hallo!
Danke ersteinmal für die Antwort.
Habe nun nach einer Pause noch einmal den Gauß durchgerechnet.
also für [mm] \lambda [/mm] = 0 habe ich nun folgendes gerechnet:
(ich lasse die 0-Spalte hier nun weg)
[mm] \pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 } [/mm] => [mm] \pmat{ -3 & 0 & 2 \\ 14 & -1 & 10 \\ -3 & 0 & 2 } [/mm] => [mm] \pmat{ 42 & -3 & 30 \\ -42 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & 0 }=> \pmat{ 0 & -3 & 30 \\ -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
-> x3 = s , x1 = 2/3 s, x2 = 10s
EV: [mm] \vektor{2/3 \\ 10 \\ 1}
[/mm]
und für [mm] \lambda [/mm] = 2
[mm] \pmat{ -8 & 0 & 4 \\ 14 & -3 & 10 \\ -12 & 0 & 6 } [/mm] => [mm] \pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 14 & -3 & 10 \\ -2 & 0 & 1 } [/mm] => [mm] \pmat{ -14 & 0 & 7 \\ 14 & -3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] => [mm] \pmat{ 0 & -3 & 17 \\ 14 & -3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
-> x3 = t , x2 = 17/3 t, x1 = 1/2 t
EV: [mm] \vektor{1/2 \\ 17/3 \\ 1}
[/mm]
Hoffe da ist nun nicht schon wieder der Wurm drinnen.... abgesehen von den 17/3 sehen die Werte ja recht schön aus 
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Hallo onkelfreddy,
> Hallo!
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> Danke ersteinmal für die Antwort.
>
> Habe nun nach einer Pause noch einmal den Gauß
> durchgerechnet.
>
> also für [mm]\lambda[/mm] = 0 habe ich nun folgendes gerechnet:
> (ich lasse die 0-Spalte hier nun weg)
>
> [mm]\pmat{ -6 & 0 & 4 \\ 14 & -1 & 10 \\ -12 & 0 & 8 }[/mm] =>
> [mm]\pmat{ -3 & 0 & 2 \\ 14 & -1 & 10 \\ -3 & 0 & 2 }[/mm] => [mm]\pmat{ 42 & -3 & 30 \\ -42 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & 0 }=> \pmat{ 0 & -3 & 30 \\ -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
Die letzte Matrix muss doch so lauten:
[mm]\pmat{ 0 & -3 & \red{58} \\ -3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> -> x3 = s , x1 = 2/3 s, x2 = 10s
>
> EV: [mm]\vektor{2/3 \\ 10 \\ 1}[/mm]
>
> und für [mm]\lambda[/mm] = 2
>
> [mm]\pmat{ -8 & 0 & 4 \\ 14 & -3 & 10 \\ -12 & 0 & 6 }[/mm] =>
> [mm]\pmat{ -2 & 0 & 1 \\ 14 & -3 & 10 \\ -2 & 0 & 1 }[/mm] => [mm]\pmat{ -14 & 0 & 7 \\ 14 & -3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> => [mm]\pmat{ 0 & -3 & 17 \\ 14 & -3 & 10 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> -> x3 = t , x2 = 17/3 t, x1 = 1/2 t
>
> EV: [mm]\vektor{1/2 \\ 17/3 \\ 1}[/mm]
>
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> Hoffe da ist nun nicht schon wieder der Wurm drinnen....
> abgesehen von den 17/3 sehen die Werte ja recht schön aus
>
Gruss
MathePower
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Also falls die Ergebnisse stimmen müsste sich für y(t) folgendes ergeben:
0* [mm] \vektor{2/3 \\ 10 \\ 1} [/mm] + (-10 1/3)* [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + 2* [mm] \vektor{1/2 \\ 17/3 \\ 1}
[/mm]
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